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1、第二章DIERZHANG空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课后训练案巩固提升1.下面几个命题:向量的模是一个正实数;所有的单位向量相等;所有的零向量相等;一条直线的方向向量是相等的.其中错误的命题个数为()A.4B.3C.2D.1解析:0的模为0,故错;所有单位向量的模相等,但方向不一定相同,故错,对;一条直线的方向向量不唯一,故错.答案:B2.在四边形ABCD中,若,且|=|,则四边形ABCD为()A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定解析:若,则AB=DC,且ABDC,所以四边形ABCD为平行四边形.又|=|,即AC=BD,所以四边形ABCD为矩形.答案:B3.把空间所有单位向量归结到
2、一个共同的始点,则这些向量的终点所构成的图形是()A.一个圆B.两个孤立的点C.一个球面D.一个平面解析:半径为1的球面上所有点到球心的距离为1.答案:C4.在正三棱锥A-BCD中,E,F分别为棱AB,CD的中点,设=,=,则+=()A.B.C.D.解析:如图,取BC的中点G,连接EG,FG,则EGAC,FGBD,故FEG=,EFG=.三棱锥A-BCD是正三棱锥,ACBD,EGFG,即EGF=.+=FEG+EFG=.答案:D5.导学号90074018下列命题:两个相反向量必是共线向量;温度含有零上温度和零下温度,所以温度是向量;已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB,BC,CD,DA分别确定
3、的四个向量之和为零向量;不相等的两个空间向量的模必不相等.其中,真命题的序号为.答案:6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AB,AD,BC,CC1的中点,则=.解析:连接DB,BC1,DC1.ABCD-A1B1C1D1为正方体,BDC1为等边三角形.E,F,G,H分别是AB,AD,BC,CC1的中点,EFBD,GHBC1.=.答案:7.如图,已知ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,若以此平行六面体的顶点为向量的始点、终点,求:(1)与相等的向量;(2)的相反向量;(3)与平行的向量.解如图,连接AD1,CD1.(1)与相等的向量为.(2)的相反向量为.(3)
4、与平行的向量为.8.如图,在正方体ABCD-ABCD中,求:(1),;(2),.解(1)ABCD-ABCD为正方体,ABAB,ADDC,ABCD.=0,=,=.(2)在正方体ABCD-ABCD中ADBC,=.连接AC,则ACD为等边三角形,=.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PD=CD,E,F分别是PC,PB的中点.(1)试求以F为起点的直线DE的一个方向向量;(2)试求以F为起点的平面PBC的一个法向量.解(1)如图,取AD的中点M,连接MF,EF,E,F分别是PC,PB的中点,EFBC.又BCAD,EFAD,EFDM,四边形DEFM是平行四边形,MFDE,是以F为起点的直线DE的一个方向向量.(2)PD平面ABCD,PDBC.又BCCD,且PDDC=D,BC平面PCD.DE平面PCD,DEBC.又PD=CD,E为PC的中点,DEPC.又BCPC=C,DE平面PBC,是平面PBC的一个法向量,由(1),可知,就是以F为起点的平面PBC的一个法向量.
