《2019数学新设计北师大选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019数学新设计北师大选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 （34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 双曲线,3.1 双曲线及其标准方程,1.双曲线的定义 (1)定义:在平面内到两个定点F1,F2距离之差的绝对值等于常数(大于0且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线. (2)符号表示:|MF1|-|MF2|=2a(常数)(02a|F1F2|). (3)焦点:两个定点F1,F2. (4)焦距:两焦点之间的距离,表示为|F1F2|.,名师点拨定义中为何强调“绝对值”和“0|F1F2|,则动点的轨迹不存在. (2)双曲线定义中应注意关键词“绝对值”,若去掉定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线的一支. 平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为非零常数,即|MF1|-|MF2|=2a,
2、关键词“平面内”. 当2a|F1F2|时,轨迹不存在.,【做一做1】 已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,是双曲线的是( ) A.|PF1|-|PF2|=5 B.|PF1|-|PF2|=6 C.|PF1|-|PF2|=7 D.|PF1|-|PF2|=0 解析:A中,|F1F2|=6,|PF1|-|PF2|=5|F1F2|,动点P的轨迹不存在; D中,|PF1|-|PF2|=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.故选A. 答案:A,2.双曲线的标准方程,特别提醒(1)标准方程的代数特征:方程右
3、边是1,左边是关于x,y的平方差,并且分母大小关系不确定. (2)a,b,c三个量的关系: 标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中ab0,而双曲线中,a,b大小不确定.,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:A,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析可先设
4、出双曲线的标准方程,再构造关于a,b的方程组,求得a,b,从而求得双曲线的标准方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程. 特别地,若已知双曲线上两点的坐标,则双曲线的标准方程可能有两个,把点的坐标代入,得到关于a,b的两个关系式,由此求解.也可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB0),把点的坐标代入求出A,B的值,此种方法计算过程简单,也避免了分类讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,2.待定系数法求双曲线标
5、准方程的四个步骤,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 如图,在ABC中,已知|AB|=4 ,且三个内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:列出等量关系,化简得到方程;寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程. (2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:双曲线的焦点所在的坐标轴;检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.,探究一,
6、探究二,探究三,思维辨析,变式训练2已知双曲线的方程是 ,点P在双曲线上,且到其中一个焦点F1的距离为10,点N是PF1的中点,求|ON|的大小(O为坐标原点).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离; (2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32,试求F1PF2的面积. 分析(1)双曲线的定义中,|MF1|-|MF2|=2a=6;(2)利用双曲线的定义和|PF2|F1F2|=32,可利用余弦定理求夹角,然后计算面积.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由双曲线的定义得|MF1|-|MF2|=2a=6,
7、又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据|PF1|-|PF2|=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a). (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,要注意两点:定义中的条件|PF1|-|PF2|=2a的应用;要利用余弦定理
8、、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用,如|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1)若F1PF2=90,求F1PF2的面积. (2)若F1PF2=60,F1PF2的面积是多少?若F1PF2=120,F1PF2的面积又是多少?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视隐含条件导致所求轨迹方程错误 【典例】 已知定点A(-3,0)和定圆C:(x-3)2+y2=16,动圆和圆C相外切,并且过定点A,求动圆圆心M的轨迹方程. 易错分析求解中易把
9、动点的轨迹看成双曲线,忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件,动点轨迹实际上是双曲线的一支. 解设M(x,y),设动圆与圆C的切点为B,|BC|=4,则|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|,所以|MC|=|MA|+|BC|,即|MC|-|MA|=|BC|=4|AC|.所以由双曲线的定义知,M点轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a=2,c=3,所以b2=5.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得在求解与双曲线有关的轨迹问题时,准确理解双曲线的定义,才能保证解题的正确性.当|PF1|-|PF2|=2a0),即|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)时,
10、P点的轨迹是双曲线,其中取正号时为双曲线的右支,取负号时为双曲线的左支.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1; 圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4. 设动圆M的半径为R, 则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, |MF2|-|MF1|=310=|F1F2|.,1 2 3 4 5,解析:由双曲线的标准方程可知,a2=10,b2=2. 于是有c2=a2+b2=12,则2c=4 . 答案:D,1 2 3 4 5,2.已知双曲线标准方程中,a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为( ) 答案:C,1 2 3 4 5,答案:(1,2),1 2 3 4 5,4.P是双曲线x2-y2=16的左支上一点,F1,F2分别是左、右焦点,则|PF1|-|PF2|= . 所以a2=16,2a=8. 因为P点在双曲线左支上, 所以|PF1|-|PF2|=-8. 答案:-8,1 2 3 4 5,解因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0),因为P1,P2在双曲线上,所以有,
