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1、2.2.2 反证法,1.反证法 (1)反证法是间接证明的一种基本方法. (2)一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了 原命题成立,这种证明方法叫做反证法. 名师点拨反证法的实质 用反证法证明命题“若p,则q”的过程可以用以下框图表示: 肯定条件p,否定结论q导致逻辑矛盾“p且 q为假”“若p则q”为真 特别提醒反证法不是通过证明逆否命题来证明原命题.反证法是先否定命题,然后再证明命题的否定是错误的,从而肯定原命题正确.,【做一做1】 用反证法证明命题“已知实数x,y满足x3+y3=2,求证:x+y2”时,应作的假设
2、是 . 解析:命题的结论是x+y2,其否定是x+y2,故应假设“x+y2”. 答案:x+y2,2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与 已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等. 3.反证法的一般步骤 用反证法证明命题时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程,这个过程包括下面三个步骤: (1)反设假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真; (2)归谬由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾; (3)存真由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.,【做一做2】 用反证法证
3、明命题“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;假设直线AC,BD是共面直线.则正确的序号顺序为( ) A. B. C. D. 解析:结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为. 答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)反证法是间接证明的一种基本方法. ( ) (2)反证法与“证明逆否命题法”是同一种方法. ( ) (3)否定性命题、唯一性命题等只能用反证法进行证明. ( ) (4)反
4、证法证明的第一步是对原命题的结论进行否定. ( ) (5)反证法的证明过程既可以是合情推理,也可以是一种演绎推理. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,用反证法证明否定性命题,思路分析:这是否定性命题,可用反证法证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟用反证法证明否定性命题的适用类型 所谓否定性命题,就是指所证问题中,含有“不”“不是”“不相等”“不存在”“不可能”“都不”“没有”等否定性词语的命题,这类命题,其结论的反面比较具体,适合采用反证法证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用反证法证明
5、“至少、至多”命题,思路分析:本题为“至少、至多”型问题,反设其结论,容易导出矛盾,故用反证法证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.对于“至少、至多”型问题,直接证明时分类情况较多,证明过程繁琐,而如果运用反证法证明,则分类情况单一,证明过程简单,这体现了“正难则反”的思想方法. 2.证明“至少、至多”型问题时,常见的“结论词”与“反设词”:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用反证法证明唯一性命题 【例3】 求证:经过平面外一点A只能有一条直
6、线和平面垂直. 思路分析:本题为唯一性命题,可用反证法证明,即假设经过点A有两条直线都与平面垂直,然后根据空间以及平面中的有关定理推出矛盾.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证明:如图,点A在平面外,假设经过点A至少有平面的两条垂线AB,AC(B,C为垂足), 那么AB,AC是两条相交直线,它们确定一个平面,平面和平面相交于直线BC, 因为AB平面,AC平面,且BC,所以ABBC,ACBC. 在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直, 这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾, 因此假设错误,即经过平面外一点A只能有一条直线和平面垂直.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思
7、感悟用反证法证明唯一性命题的注意点 (1)当所证命题的结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一一个”“存在唯一”等形式出现时,反设其结论易于导出矛盾,因此可用反证法证明该类命题. (2)用反证法证明唯一性命题时,如果其结论的反面呈现多样性,必须罗列出所有可能的各种情况,缺少任何一种情况时,反证都是不完全的. (3)证明“有且只有”等形式的问题时,需要证明两个方面,即证明存在性和唯一性.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3已知函数f(x)在区间m,n上的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)在m,n上单调递减,若f(m)f(n)x1,则有f(x0)f(x1),即00,矛盾; 故假设错误,即
8、方程f(x)=0在m,n上的根是唯一的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反证法证明过程中未用反设致误 【典例】 已知实数k满足2k2+3k+10,运用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-k2=0没有实数根. 错解分析:本题常见错解是虽然对命题的结论进行了反设,但后面的证明过程中,没有将这一“反设”作为条件进行推理,因此没有推出矛盾,故这种证明过程不是利用反证法进行的,是错误的. 证明:假设方程x2-2x+5-k2=0有实数根, 则其判别式=4-4(5-k2)=4k2-160, 解得k2或k-2. 又因为实数k满足2k2+3k+10, 所以-1k- , “k2或k-2”与“-1k- ”矛
9、盾, 故假设错误,即关于x的方程x2-2x+5-k2=0没有实数根.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得在反证法的证明过程中,必须首先对结论进行否定,然后在后面的推理过程中真正用上这一“反设”,才是真正利用反证法证明问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,跟踪训练已知直线a,b相交,求证:直线a与b有且只有一个交点. 证明:假设结论不成立,则有两种情况:直线a与b没有交点;直线a与b有不止一个交点. (1)假设直线a与b没有交点,则ab或a,b是异面直线,这与已知矛盾. (2)假设直线a与b有不止一个交点,则至少有两个交点,设为P,P,这样经过点P,P就有两条直线a,b,这与两点确定
10、一条直线矛盾. 由(1)和(2),可知假设不成立,所以直线a与b有且只有一个交点.,1.用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是( ) A.将结论与条件同时否定,推出矛盾 B.肯定条件,否定结论,推出矛盾 C.将否定的结论作为条件,原题中的条件不能用 D.肯定结论,否定条件,推出矛盾 解析:反证法中只能将结论否定,条件不能否定. 答案:B 2.用反证法证明命题“已知m,nN,若mn能被3整除,则m,n中至少有一个能被3整除”时,假设的内容是( ) A.m,n都能被3整除 B.m,n都不能被3整除 C.m,n不都能被3整除 D.m,n中有一个能被3整除 解析:结论“m,n中至少有一个能被3整除”的否定是“m,n都不能被3整除”,故应假设m,n都不能被3整除. 答案:B,3.若实数x,y,z满足x+y+z9,则x,y,z中至少有一个大于 . 解析:假设x,y,z都不大于3,即x3,y3,z3,则x+y+z9,这与x+y+z9相矛盾,故x,y,z中至少有一个大于3. 答案:3 4.命题“关于x的方程ax+b=0(a0)的解是唯一的”的结论的否定是 . 答案:无解或至少有两个解,证明:假设a,b,c都小于1,即a1,b1,c1, 则a+b+c3.,这与a+b+c3矛盾, 因此假设错误,即a,b,c中至少有一个不小于1.,
