《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 （57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,1.平面向量数量积的定义 非零向量a,b的夹角为,数量_叫做向量 a与b的数量积,记作ab,即ab= _,特别 地,零向量与任何向量的数量积等于_.,|a|b|cos,|a|b|cos,0,2.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念: b在a的方向上的投影为_; a在b的方向上的投影为_. (2)数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与 _的乘积.,|b|cos,|a|cos,b在a的方向上的投影|b|cos,3.向量数量积的性质,0,|a|b|,-|a|b|,|a|b|,4.向量数量积的运算律 (1)ab=_(
2、交换律). (2)(a)b= _= _(结合律). (3)(a+b)c=_(分配律).,ba,(ab),a(b),ac+bc,【点拨】(1)关于数量积的结果 非零向量数量积的运算结果是一个数量, 当00; 当90180时,ab0; 当=90时,ab=0. 特别地,如若a或b等于零,则ab=0.,(2)关于数量积的几何意义 向量a在b方向上的投影为|a|cos,是一个数量,投影的值由向量a的模、两向量的夹角的余弦决定,而与向量b的模无关. 向量a在b方向上的投影还可以表示成,(3)关于数量积的运算律 数量积对向量的结合律不成立,对于平面内的任意三个向量a,b,c,如果(ab)c=a(bc),则c
3、=a (,R),即a,c共线,与a,c为任意向量不符,只有在特殊情况下,如三个向量都同向时,才能相等.,【自我检测】 1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|= ,且a与b的夹角为 30,那么ab等于 ( ) A.1 B. C.3 D.3 【解析】选C.向量a,b满足|a|=2,|b|= ,且a与b的夹 角为30,那么ab=|a|b|cos=,2.已知|b|=3,a在b方向上的投影是 ,则ab为( ) A. B. C.3 D.2 【解析】选D.由数量积的几何意义知,ab= 3=2.,3.已知ab=-12 ,|a|=4,a和b的夹角为135,则 |b|= ( ) A.12 B.3 C.6 D.3
4、 【解析】选C.ab=|a|b|cos135=-12 , 又|a|=4,解得|b|=6.,4.若ab0,则a与b的夹角的取值范围是_. 【解析】因为ab=|a|b|cos0, 所以cos0, 又0,所以 . 答案:,5.下面给出的关系式中正确的个数是_. 0a=0; ab=ba; a2=|a|2; |ab|ab; (ab)2=a2b2.,【解析】显然正确;|ab|ab, 错误;(ab)2=(|a|b|cos)2=a2b2cos2,错误. 答案:,类型一 向量数量积的计算及其几何意义 【典例】1.已知ABC是边长为1的 等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延 长到点F,使得D
5、E=2EF,则 的值为 ( ),2.已知向量a与b的夹角为60,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影为 ( ) A. B.2 C. D.3,3.已知向量a与b满足|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120.求: (1)(a-b)(a-b) (2)(2a+b)(a-b),【审题路线图】1.等边三角形、中点、DE=2EF表示 出 利用数量积定义计算. 2.向量a,b的模、夹角投影的定义式代入计算. 3.向量a,b的模、夹角数量积的运算法则展开,利 用定义计算.,【解析】1.选B.设 =a, =b,则ab= ,|a|=|b|=1.,2.选A.因为向量a与b的夹角为60,且|a
6、|=2,|b|=5, 所以(2a-b)a=2a2-ba=222-52cos60=3, 所以向量2a-b在a方向上的投影为,3.(1)(a-b)(a-b) =a2-b2=|a|2-|b|2=100-9=91. (2)因为|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120, 所以ab=103cos120=-15, 所以(2a+b)(a-b)=2a2-ab-b2 =200+15-9=206.,【延伸探究】 1.本例1中,若DE的中点为G,求 【解析】 所以,2.本例1中,试求 【解析】 所以,【方法技巧】平面向量的数量积计算的方法及注意点 (1)求向量模、夹角的向量数量积的运算,首先选取已知模、夹
7、角的两个向量作为基底,表示出未知向量,再代入运算即可. 提醒:基底的选取非常重要,恰当的选取基底可以使数量积运算变得简便.,(2)已知模、夹角的向量数量积运算,一是注意数量积运算律的应用;二是注意利用向量的加减法合并向量.上述的两个方面都可以起到简化运算的作用.,【补偿训练】1.在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则 = ( ) A.- B.0 C. D.7,【解析】选B.如图, 因为BC=3MC,DC=4NC,且AB=4,AD=3, 则,2.如图,在ABC中,若AB=AC=3,cosBAC= , 则 =_.,【解析】根
8、据条件: 所以 答案:-,类型二 与向量模、夹角有关的问题 【典例】1.已知向量a与b的夹角为120,|a|=3, |a+b|= ,则|b|= ( ) A.1 B.3 C.4 D.5,2.已知向量a,b的夹角为60, |a|=2,|b|=1,则|a +2b|=_. 3.(2018襄阳高一检测)已知AD,BE都是ABC的中线, 若AD=BE=1,且 则 的夹角为_.,【审题路线图】1.向量的模|a+b|2=13,平方求模、 寻找答案. 2.|a+2b|2=(a+2b)2a2+4ab+4b2开方求模. 3. 用 表示出 代入构造夹 角定义式求夹角.,【解析】1.选C.根据条件,(a+b)2=a2+
9、2ab+b2=9-3|b|+|b|2=13, 所以解得|b|=4或-1(舍去).,2. |a+2b|2 =(a+2b)2 =|a|2+2|a|2b|cos 60+(2|b|)2 =22+222 +22=4+4+4=12, 所以 答案:2,3.因为AD,BE都是ABC的中线, 所以 所以 所以,所以 因为 所以 所以 所以 的夹角为 答案:,【方法技巧】求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系, 并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方. (2)aa=a2=|a|2或|a|= ,此性质可用来求向量的 模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.,(3)一些常见的等
10、式应熟记,如(ab)2=a22ab +b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.,【变式训练】已知|a|=|b|=|c|=1且满足3a+mb+7c=0,其中a,b的夹角为60,则实数m=_.,【解析】因为3a+mb+7c=0,所以3a+mb=-7c, 所以(3a+mb)2=(-7c)2得9+m2+6mab=49, 又ab=|a|b|cos60= , 所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8. 答案:5或-8,【补偿训练】(2018大理高一检测)已知向量a与b的 夹角为30,且|a|= ,|b|=2,则|a-b|等于 ( ) A.1 B. C.13 D.,【解析】选A.向量a与b的夹角为3
11、0,且|a|= , |b|=2,可得ab=|a|b|cos30= 则|a-b|=,类型三 与向量的垂直有关的问题 【典例】1.已知非零向量m,n满足 4m=3|n|,cos= .若n(tm+n),则实数t的 值为 ( ) A.4 B.-4 C. D.-,2.(2018广州高一检测)已知平面向量a,b是非零向 量,|a|=2,a(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影 为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.已知向量a,b,其中|a|= ,|b|=2,且(a-b)a,则 |2a-b|=_.,【审题路线图】向量垂直数量积等于0展开、代入条件计算.,【解析】1.选B.因为4|m|=3|
12、n|,cos= , n(tm+n), 所以n(tm+n)=tmn+n2=t|m|n| +|n|2= |n|2=0,解得:t=-4.,2.选B.因为平面向量a,b是非零向量,|a|=2, a(a+2b), 所以a(a+2b)=0,即a2+2ab=0,即ab=-2, 所以向量b在向量a方向上的投影为,3.设向量b和a的夹角是, 因为|a|= ,|b|=2,且(a-b)a, 所以(a-b)a=a2-ab=2-ab=2-2 cos=0, 所以cos= ,所以(|2a-b|)2=4a2+b2-4ab =8+4-4 2 =4,故|2a-b|=2. 答案:2,【方法技巧】向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相
13、关题目的依据是abab=0,利用数量积的运算律代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.,【变式训练】(2018沈阳高一检测)已知|a|=2,|b| =2,a与b的夹角为45,且b-a与a垂直,则实数=_.,【解析】因为向量b-a与向量a垂直, 所以(b-a)a=0,所以ba-aa=0, 因为|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45, 所以22cos45-22=0,所以= . 答案:,【补偿训练】已知|a|=1,|b|= ,且a(a-b),则向 量a与向量b的夹角为 ( ),【解析】选B.因为a(a-b),所以a(a-b)=0, 即a2-ab=0,所以1-1 cos=0, 所以cos= ,所以向量a与b的夹角为 .,【核心素养培优区】 【易错案例】数量积的运算 【典例】在ABC中,已知 则向量 = ( ) A.2 B.-2 C.2 D.-2,A,【失误案例】因为,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题出错的根本原因是向量的夹角概念理解错误, 认为 的夹角为60,应将两个向量的起点平移 到一个点,再观察两个向量所成的角.,【自我纠正】选B.,
