《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：3.2简单的三角恒等变换（一） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：3.2简单的三角恒等变换（一） （49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 简单的三角恒等变换(一),1.半角公式,2.常见的三角恒等变换 (1)asinx+bcosx= sin(x+)(ab0),其中tan= ,所在象限由a和b的符号确定. (2)sin2x= ,cos2x=_, sinxcosx=_.,【点拨】(1)确定半角的正弦、余弦、正切公式符号的 原则 如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负 两个符号. 若给出角的具体范围(即某一区间)时,则先求 所在范围,然后再根据 所在范围选用符号.,如果给出的角是某一象限角时,则需要根据具体情况确定. (2)对半角公式的理解 半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的.,半角公式给出了求 的正弦、
2、余弦、正切的另一种方式,即只需知道cos的值及相应的条件,sin ,cos ,tan 便可求出. 涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时,常用,提醒:在使用半角公式时,常把公式前的符号搞错而致误.,【自我检测】 1.已知180360,则cos 的值等于 ( ),【解析】选C.因为 180360,所以90 180. 所以,2.已知cos=- (-180-90),则cos = ( ) 【解析】选B.因为-180-90,所以-90 -45. 又cos=- ,所以,3.化简: =_. 【解析】 答案: cos1,4.若tan=2,则tan =_. 【解析】 解得 答案:,类型一 利用半角公式求值 【典
3、例】1.设56,cos =a,则sin 等于 ( ),2.若sin(-)=- 且 ,则 =_.,【审题路线图】1.角的范围 的范围半角公式. 2.诱导公式根据半角公式判断,并求所需要的量.,【解析】1.选D.由 得 又56,所以 ,所以sin 0, 所以,2.由题意知sin=- , ,所以cos= 因为 所以 答案:-,【延伸探究】本例2中,试求 【解析】由题意知 所以cos= 所以,【方法技巧】利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应
4、半角的范围.,(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 其优点是计算时可避免因开方带来的求角的 范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用 计算. (4)下结论:结合(2)求值.,提醒:已知cos的值可求 的正弦、余弦、正切值,要注意确定其符号.,【变式训练】已知24,且sin=- , cos0,则tan 的值等于 ( ),【解析】选A.由题意知为第三象限角, 因为3 ,所以 所以tan 0,cos= 所以,【补偿训练】若cos= ,且270360,则 cos 的值为 ( ),【解析】选D.因为270360, 所以135 180, 所以,类型二 三角函数式的化简 【典例】化简 .,【审题
5、路线图】平方式,正切, 二倍角公式, 切化弦, 互余逆用二倍角,诱导公式,化弦约 分.,【解析】,【方法技巧】化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.,(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.,【变式训练】已知sin2= ,02 ,则 =_.,【解析】 因为sin2= ,02 ,所以cos2= ,所以tan= 所以 即 答案:,类型三 三角恒等式的证明 【典例】1.求证: 2.
6、已知2sin =sin+cos,2sin2=sin2, 求证:sin2+ cos2=0.,【审题路线图】1.sin4,1cos4二倍角的正弦展开,二倍角的余弦变式应用提取公因式约分二倍角公式展开化切. 2.sin ,sin+cos,sin2分别展开,平方,降幂消去.,【证明】1.左边= = =右边, 所以,2.因为2sin =sin+cos, 所以 (sin+cos)=sin+cos. 两边平方得2(1+sin2)=1+sin2, 所以sin2=1+2sin2. 又因为sin2=2sin2,所以sin2=1-cos2. 所以1-cos2=1+2sin2.,所以2sin2+cos2=0,所以si
7、n2+ cos2=0.,【方法技巧】关于证明三角恒等式的原则 (1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明. (2)两边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共同的“第三者”从而证明等式成立.,(3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消去一个角,从而采取不同的变换. (4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称的变换.,【变式训练】已知sin(2+)=5sin, 求证:2tan(+)=3tan.,【证明】由条件得sin(+)+=5sin(+)-, 两边分别展开得 sin(+)cos+cos(+
8、)sin =5sin(+)cos-5cos(+)sin. 整理得:4sin(+)cos=6cos(+)sin. 两边同除以2cos(+)cos得:2tan(+)=3tan.,【补偿训练】化简:,【解析】原式=,【核心素养培优区】 【易错案例】利用半角公式化简 【典例】已知 3,则 的值为 ( ) A.-sin B.cos C.sin D.-cos,D,【失误案例】因为cos2=2cos2-1, 所以cos2+1=2cos2,cos2= cos2. 又因为 3, 所以 ,即 在第三象限,又因为 在第三象限,所以cos 0, 即原式=,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽视了角的取值范围,从而误认为 =cos.由于对角的范围的忽视而导致解题出现错误.,【自我纠正】选A.因为 3,所以 所以cos0,sin 0,所以原式 所以,原式=-sin .,
