《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：1.1.2弧度制 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：1.1.2弧度制 （76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.2 弧 度 制,1.度量角的两种制度 (1)角度制:定义:用_作为单位来度量角的单位制. 1度的角:周角的_. (2)弧度制:定义:以_作为单位来度量角的单位制. 1弧度的角:长度等于_的弧所对的圆心角.,度,弧度,半径长,2.弧度数的计算,正数,负数,0,3.角度制与弧度制的换算,4.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,(02)为其圆心 角,则 (1)弧长公式:l=_. (2)扇形面积公式:S=_=_.,R,【点拨】(1)有关“角度”与“弧度”概念的理解,(2)弧长公式、扇形的面积公式的应用 运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比 角度制下的公式简单,但要注意它的
2、前提是为弧度制; 在运用公式时,还应熟练地掌握这两个公式的变形应 用:l=|R,|= ,R= . S= |R2,|= .,【自我检测】 1.在圆中1rad的圆心角所对的 ( ) A.弦长相等 B.弧长相等 C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径,【解析】选D.根据弧度制的定义,因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角,所以1rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径.,2.-300化为弧度是 ( ),【解析】选B.因为1= 所以-300=,3. 化为角度是 ( ) A.270 B.280 C.288 D.318 【解析】选C.因为1rad= 所以,4.75的弧度数是_. 【解析】 答
3、案:,5.半径为2,圆心角为 的扇形的面积是_. 【解析】由扇形的面积公式可得,此扇形的面积是 答案:,类型一 角度制与弧度制的互化 【典例】1.(2018赤峰高一检测)(1)将11230 化为弧度为_. (2)将- rad化为度为_.,2.(2018大同高一检测)将下列各角化成0到2的角加上2k(kZ)的形式. (1) . (2)-315.,【审题路线图】1.角度与弧度之间转化1 = rad,1rad= . 2.(1) 2k+(kZ). (2)-315化成弧度2k+(kZ).,【解析】1.(1)因为1= rad, 所以11230= 112.5rad= rad. 答案: rad,(2)因为1r
4、ad= , 所以- rad=-( )=-75. 答案:-75,2.(1) =6+ . (2)-315=- =-2+ .,【方法技巧】进行角度制与弧度制的互化的原则和 方法 (1)原则:牢记180=rad,充分利用1= rad和1rad= 进行换算. (2)方法:设一个角的弧度数为,角度数为n, 则rad= ;n=n .,提醒:(1)用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写. (2)用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少的形式,如无特别要求,不必把写成小数. (3)度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.,【变式训练】1.将下列弧度转化为角度: (1) =_.
5、(2)- =_. (3) =_.,【解析】(1) 答案:(1)15 (2)-157 30 (3)390,2.将下列角度转化为弧度: (1)36=_rad. (2)-105=_rad. (3)3730=_rad.,【解析】(1)36=36 rad= rad. (2)-105=-105 rad=- rad. (3)3730=37.5 rad= rad. 答案:(1) (2)- (3),【补偿训练】把下列各角化成2k+(02, kZ)的形式,并指出是第几象限角? (1)-1725. (2) (3)-4.,【解析】(1)因为-1725=-5360+75, 所以-1725=-10+ 所以-1725角与
6、角的终边相同. 又因为 是第一象限角, 所以-1725是第一象限角.,(2)因为 =20+ , 所以 角与 角的终边相同. 又因为 是第三象限角, 所以 是第三象限角.,(3)-4=-2+(2-4), 所以-4与2-4终边相同, 又因为 2-4,所以2-4是第二象限角, 所以-4是第二象限角.,类型二 用弧度制表示角的集合 【典例】1.终边经过点(a,a)(a0)的角的集合 是 ( ),2.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图).,【审题路线图】1.角的集合在0,2内,角的终边经过点(a,a)2k+(kZ)的形式. 2.角的集合先确定0
7、2内角的集合终边相同的角.,【解析】1.选D. 终边经过点(a,a)(a0)的角的集合为 终边经过点(a,a)(a0)的角的集合为,终边经过点(a,a)(a0)的角的集合是,2.(1)以OA为终边的角为 +2k(kZ);以OB为终边 的角为- +2k(kZ).所以阴影部分(不包括边界) 内的角的集合为 (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是|120+k360210+k360,kZ. 即:,【延伸探究】 1.若将本例2中变成如图所示的图形,写出终边落在阴影部分(包括边界)内的角的集合.,【解析】所求角的集合为,2.若将本例2中变成如图所示的图形,写出终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的
8、集合.,【解析】30= ,150= . 终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界) 是,【方法技巧】根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形. (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围内的角. 提醒:用不等式表示区域角的范围时,要注意角的集合形式是否能够合并,这一点容易出错.,【补偿训练】1.用弧度制表示终边落在x轴上方的角 的集合为_. 【解析】若角的终边落在x轴上方,则2k2k+, kZ. 答案:|2k2k+,kZ,2.用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界),如图所示.,【解析】(1)330和
9、60的终边分别对应 所表示的区域位于 之间且跨越x轴的正半轴, 所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为,(2)210和135的终边分别对应 所表示的 区域位于 之间且跨越x轴的正半轴,所以终 边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为,类型三 与弧长,扇形面积有关的问题 【典例】1.(2018承德高一检测)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin2 C. D.2sin1,2.(2018长春高一检测)(1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数. (2)已知一扇形的圆心角是72,半径等于20cm,求扇形的面积.,【审题路
10、线图】1.求弧长圆心角和弦长构造三角 形利用三角函数. 2.扇形圆心角的弧度数或扇形的面积l=R或S= lR.,【解析】1.选C.如图:,AOB=2弧度,过O点作OCAB于点C,并延长OC交AB于 点D.AOD=BOD=1弧度,且AC= AB=1,在RtAOC 中,AO= ,即r= ,从而弧AB的长为 l=|r= .,2.(1)设扇形圆心角的弧度数为(02rad舍去. 当r=4时,l=2(cm),此时,=,(2)设扇形弧长为l,因为72=72 所以l=R= 20=8(cm). 所以S= lR= 820=80(cm2).,【延伸探究】在本例2(1)中,若扇形的周长10cm改为 40 cm,它的半
11、径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?,【解析】设扇形的圆心角为,半径为r,弧长为l, 面积为S, 则l+2r=40,所以l=40-2r, 所以S= lr= (40-2r)r=(20-r)r =-(r-10)2+100. 所以当半径r=10cm时,扇形的面积最大. 这个最大值为100cm2,这时=,【方法技巧】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解 题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l=|r,扇形的面积公式是 S= lr= |r2(其中l是扇形的弧长,是扇形的圆 心角).,(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公
12、式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.,提醒:(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. (2)看清角的度量制,选用相应的公式. (3)扇形的周长等于弧长加两个半径长.,【变式训练】已知扇形AOB的圆心角为 ,半径长R为6,求: (1)弧AB的长. (2)扇形所含弓形的面积.,【解题指南】(1)将角度化为弧度,再根据公式求解弧长. (2)利用扇形面积减去三角形面积.,【解析】(1)l=R= 6=4, 所以弧AB的长为4.,(2)S扇形OAB= lR= 46=12. 如图所示,过点O作ODAB,交AB于点D,=120, 所以AOD=60,DAO=30, 于是有SOAB=
13、ABOD = 26cos303=9 . 所以弓形的面积为S扇形OAB-SOAB=12-9 . 所以弓形的面积是12-9 .,【延伸探究】 1.本题将圆心角“ ”改为“ ”,应如何解答?,【解析】(1)弧AB的长l=R= 6=2. (2)S扇形OAB= lR= 26=6, 因为OA=OB,AOB= , 所以AOB是等边三角形, SOAB= ABOAsin = 66 =9 , 所以弓形的面积是S扇形OAB-SOAB=6-9 .,2.将“半径R长为6”改为“周长为+3”,求该扇形的面积. 【解析】设扇形的半径为r, 由题意得:2r+ r=+3,2r =+3, 解得r= , 所以扇形的面积S=,【补偿
14、训练】1.已知在圆中,1rad的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长为_.,【解析】如图所示,由圆心O向弦AB作垂线,垂足为点C,则点C为AB的中点. 因为AOB=1rad,AB=2, 所以AOC= rad,AC=1.,在RtAOC中, 故 的长为 答案:,2.扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,则它的圆心角为_,弦AB的长为_.,【解析】如图所示,设 的长为lcm,OA=rcm, 则l=4-2r. 因为S扇形= lr, 所以 (4-2r)r=1, 解得r=1,所以l=2. 设AOB的弧度数为,则= =2rad. 过点O作OHAB于点H, 则AB=2AH=2rsin1=2sin1(cm), 所以扇形OAB的圆心角为2rad,弦AB的长为2sin1cm. 答案:2 2sin1cm,【核心素养培优区】 【易错案例】弧度制下扇形的弧长,面积公式的应用 【典例】工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式. 某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展 开的圆心角为120,外圆半径为50cm,内圆半径为20cm. 则制作这样一面扇面需要的布料为_cm2(仅考虑 正面)(用数字作答,取3.14).,126000,【失误案例】由题意得 外扇形的面积S1= 120502, 内扇形的面积S2=
