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1、专题整合深化提升类型一互斥事件与对立事件的概率及应用【典例】甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同的题目.其中,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?【解析】把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.总的事件数为20.“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有:(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有:(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2
2、,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p2,p1),共2种.(1)“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为620=310,“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为620=310,故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题”的概率为310+310=35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220=110,故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1-110=910.【方法技巧】1.互斥事件与对立事件的概率计算(1)若事件A1,A2,An彼此互斥,则P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).(2)设事件A的对立事
3、件是A-,则P(A)=1-P(A-).2.求复杂事件的概率常用的两种方法(1)直接法:将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.(2)间接法:先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P(A)求解.【变式训练】某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?【解析】(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(kN),那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率加法公式,得P(
4、A)=P(A1A2A3A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为B.根据对立事件的概率公式,得P(B)=1-P(A)=1-0.95=0.05.类型二古典概型【典例】1.一个各面都涂有红色的正方体的体积为64cm3,将其锯成体积为1cm3的小正方体,从中任取一块,至少有一面涂有红色的概率为,都不涂色的概率为.2.有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张.(1)
5、用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A,B,C,D表示).(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.【解析】1.由题意知,可锯成64个小正方体,其中三面涂色的有8个,两面涂色的有212=24个,一面涂色的有46=24个,各面都不涂色的有8个.从中任取一个是等可能的,因此,至少有一面涂色的概率为P1=24+24+864=78,都不涂色的概率为P2=864=18或P2=1-78=18.答案:78182.(1)树状图如图所示.列表如下:ABCDA(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)(C,C)(C
6、,D)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)(2)摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有4种情况,即(B,B),(B,C),(C,B),(C,C),故所求概率是416=14.【方法技巧】求解古典概型概率“四步”法【提醒】在应用公式P(A)=mn时,关键是正确理解基本事件与事件A的关系,求出n,m.【变式训练】甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若用A表示和为6的事件,求P(A).(2)现连玩三次,若用B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件,为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.【解析】(1)
7、基本事件个数与点集S=(x,y)|xN,yN,1x5,1y5中的元素一一对应,所以S中点的总数为55=25(个),所以基本事件总数n=25.事件A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共有5个,故P(A)=525=15.(2)B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次时,B,C同时发生.(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件有13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),所以甲赢的概率为1325,乙赢的
8、概率为1225,所以这种游戏规则不公平.类型三几何概型【典例】1.已知四边形ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点P,则取到的点P到O的距离大于1的概率为()A.4B.1-4C.8D.1-82.甲、乙两艘轮船都要停靠一个不能同时停泊两艘船的泊位,它们可以在一昼夜的任意时刻到达,设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3h和5h,求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.【解析】1.选B.如图所示,设取到的点P到O的距离大于1为事件M,则点P应在阴影部分内,阴影部分的面积为21-1212=2-2,所以P(M)=2-22=1-4.2.以甲船到达泊位的时刻x
9、、乙船到达泊位的时刻y为横、纵坐标轴建立直角坐标系,如图所示,由题意可知,0x24且0y24.设事件A=有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间,事件B=甲船停靠泊位时必须等待一段时间,事件C=乙船停靠泊位时必须等待一段时间,则A=BC,并且事件B与C是互斥事件,所以P(A)=P(BC)=P(B)+P(C).而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足条件是0x-y5,乙船需满足的条件是0y-x3,点(x,y)的所有可能结果是边长为24的正方形,事件A的可能结果由图中的阴影部分表示,则S正方形=242=576,S阴影=242-12(24-3)2-12(24-5)2=175,所以由几何概型概率公式得P(A
10、)=175576,所以有一艘轮船停靠泊位时等待一段时间的概率为175576.【方法技巧】几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性,其概率就不能应用P(A)=mn求解,因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.(2)在解题时要准确把握,要把实际问题进行合理转化;要注意古典概型和几何概型的区别,正确选用几何概型的类型解题.【变式训练】设有一个等边三角形网格,其中每个最小等边三角形的边长都是43cm,现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.【解题指南】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1时,硬币落下后与格线没有公共点,在等边三
11、角形内作与正三角形三边距离为1的直线,构成小等边三角形,当硬币中心在小等边三角形内时,硬币与三边都没有公共点,所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题.【解析】设A表示硬币落下后与格线没有公共点,如图所示,在等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则小等边三角形的边长为43-23=23,由几何概型概率公式得P(A)=34(23)234(43)2=14.类型四概率与统计的综合应用【典例】深夜,一辆出租车被牵涉进一起交通事故,该市有红色与绿色两种颜色的出租车共计2000辆,其中绿色出租车和红色出租车分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证
12、人说,事故现场的出租车是红色的,有关部门对证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.(1)根据目击证人的说法,填写下列信息表,并求红色出租车肇事的概率.证人所说的颜色(正确率80%)真实颜色绿色(辆)红色(辆)合计(辆)绿色(85%)1 700红色(15%)300合计(辆)2 000(2)试问警察的认定对红色的出租车公平吗?请说明理由.【解析】(1)绿色(辆)红色(辆)1 360340602401 420580红色出租车肇事的概率为240580=1229.(2)警察的认定对红色出租车不公平,因为红色出租车肇事的概率是1229,而绿色(错看成
13、红色)出租车肇事的概率为340580=1729,12291729,事实上绿色出租车肇事的可能性更大.【方法技巧】概率与统计的综合应用的关注点在解决综合问题时,要求对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的.【变式训练】豌豆的高矮性的遗传由其一对基因决定,其中决定高茎的基因记为D,决定矮茎的基因记为d,第一子代的一对基因为Dd,若第一子代的基因D,d的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率.(只要有基因D,则茎就是高茎,只有两个基因全是d时,才显现矮茎)【解析】由于第一子代的D,d基因的遗传是等可能的.可以将各种可能的遗传情形都
14、列举出来,如图所示:D,d与D,d的组合有4种:DD,Dd,dD,dd,其中只有一种表现为矮茎,故第二子代为高茎的概率为34=0.75.【补偿训练】国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现30min长的磁带上,从开始30 s处起,有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现,这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键,使从此处起以后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大?【解析】记A表示按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉,用表示时间,事件A的发生就是在0到23min时间段内按错键.所以A=23min,=30min,P(A)=A=2330=145.
