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1、课时提升作业 二十几何概型 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列概率模型中,几何概型的个数为()从区间-10,10内任取出一个数,求取到1的概率;从区间-10,10内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;从区间-10,10内任取出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中心不超过1 cm的概率.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.不是几何概型,虽然区间-10,10有无限多个点,但取到“1”只是一个数字,不能构成区域长度;是几何概型,因为区间-10,10和-1,1上有无限多个数可取(满足无限性),
2、且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性);不是几何概型,因为区间-10,10上的整数只有21个(是有限的),不满足无限性特征;是几何概型,因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点,且这两个区域内的任何一个点被投到的机会是相等的,故满足无限性和等可能性.2.在区间(10,20)内的所有实数中,随机取一个实数a,则这个实数a13的概率是()A.13B.17C.310D.710【解析】选C.要使实数a13,则要a(10,13),所以实数a2成立的概率为()A.14B.13C.12D.23【解析】选A.基本事件的总数构成的区域对应的长度是2-(-2)=4,由f
3、(x)2可得x1,所以满足f(x)2的基本事件构成的区域对应的长度是2-1=1,则使不等式f(x)2成立的概率为14.【补偿训练】如图,A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A,连接AA,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14【解析】选C.如图,当AA的长度等于半径长度时,AOA=3,由圆的对称性及几何概型得P=232=13.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2018郑州高一检测)在一个球内挖去一个几何体,其三视图如图.在球内任取一点P,则点P落在剩余几何体上的概率为.【解析】由三视图可知,该几何体是球内挖去圆柱,球半径R=5,圆柱底面半
4、径r=4,高h=6,故球体积V=43R3=5003,圆柱体积V1=r2h=96,所以所求概率P=5003-965003=53125.答案:531254.(2018山东高考)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.【解题指南】这是一个长度型几何概型的概率问题.根据事件发生的条件可求出k所在区间长度,进而容易求解.【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=|5k|k2+13,即-34k34,所以所求概率P=34-(-34)1-(-1)=34.答案:34 【补偿训练】(2017安阳高一检测)在区间-2,3上任
5、取一个实数a,则使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d2,455的概率是.【解析】如图.直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d=AB2,455,则半弦长BC22,255,因为圆的半径等于1,所以圆心到直线ax+y+1=0的距离OC55,22,即551a2+122,得-2a-1或1a2.又a-2,3,所以在区间-2,3上任取一个实数a,则使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d2,455的概率是-1-(-2)+(2-1)3-(-2)=25.答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)5.射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环,从外向内分别为白色、黑
6、色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm,运动员在一定距离外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任意一点是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?【解析】如图,记“射中黄心”为事件B.因为中靶点随机地落在面积为141222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为1412.22cm2的黄心内时,事件B发生,所以事件B发生的概率P(B)=1412.22141222=0.01.6.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,G分别是AB,DF的中点.(1)在AD上(含A,D端点)确定一点P,使得GP平面FMC.(2)一只苍蝇在几何体ADF-
7、BCE内自由飞行,求它飞入几何体F-AMCD内的概率.【解析】由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF,DF=AD=DC.(1)点P在A点处.证明如下:取FC的中点S,连接GS,MS,GA,因为G是DF的中点,所以GSCD,GS=12CD.又ABCD,AB=CD,所以GSAB,且GS=12AB,又M为AB的中点,所以GS=AM,GSAM,所以四边形AGSM为平行四边形.所以AGMS,又MS平面FMC,AG平面FMC,所以AG平面FMC,即GP平面FMC.(2)因为VF-AMCD=13S四边形AMCDDF=14a3,VADF-BCE=12a3,所以苍蝇飞入几何体F-AMCD内的概率为14a312
