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1、2019高考数学复习高频考点解读解密23 曲线与方程 高考考点命题分析三年高考探源考查频率求曲线与方程预计高考对本讲内容的考查将以求曲线方程和研究曲线的性质为主.与平面向量或者平面几何综合命题，应予以重视.2017课标全国202016课标全国202015广东20考点 求曲线与方程题组一 直接法求轨迹方程调研1 设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积是.(1)求点的轨迹方程;(2)在点的轨迹上有一点，且点在轴的上方，求实数的取值范围.(2)设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，则,因为点的坐标在点的轨迹上，所以，得，则，因为所以，则，所以. 故实数的取值范围是.技巧点拨直接法求曲线方程
2、时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性此种方法在高考中比较常见，在求出曲线的方程后，注意去掉不符合题意的点.题组二 定义法求轨迹方程调研2 在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1（1）求点的轨迹的方程； （2）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明：是一个定值【解析】（1）到定点的距离与到定直线的距离相等，的轨迹是一个开口向右的抛物线，且，的轨迹方程为（2）设过的直线l的方程为，联立整理得，设直线与抛物线的交点为，则有，又，因此是一个定值，为题组三 相关点法求轨迹方程调研3 在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,垂足为,点在线段上,且,当点在
3、圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程;(2)设直线与上述轨迹相交于M、N两点，且MN的中点在直线上，求实数k的取值范围【解析】(1)设,由得,=,点在圆上,=,即=,点的轨迹C的方程为=.(2)设,若直线l与x轴平行,则MN的中点在y轴上,与已知矛盾,所以,把代入=,得=,则=,由,得,由,得=,所以=,解得,所以k的取值范围是题组四 参数法求轨迹方程调研4 已知常数，向量，经过点，以为方向向量的直线与经过点，以为方向向量的直线交于点，其中（）求点的轨迹方程，并指出轨迹（）若点，当时，为轨迹上任意一点，求的最小值【解析】（）由题意得，直线的方程为，又，直线的方程为，由，消去参数，得，整理得，故点
4、的轨迹方程为当时，轨迹是以为圆心、半径为的圆；当时，轨迹是以为焦点、长轴长为的椭圆；当时，轨迹是以为焦点、长轴长为4的椭圆 1（上海市建平中学2018-2019学年高三上学期期中考试）已知点A（2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线【答案】D【解析】动点P（x，y）满足，（2x，y）（3x，y）=x2，（2x）（3x）+y2=x2，化简得y2=x+6，点P的轨迹是抛物线故选D2（北京市西城161中2018届高三上期中数学真题卷）如图，正方体中，动点在侧面内，且点到棱与棱的距离相等，则点运动形成的图形是A线段 B圆弧C椭圆的一部分 D抛物线的一
5、部分【答案】D【解析】由题意知，直线平面，则，即就是点到直线的距离，所以，在平面中，点到直线的距离等于它到点的距离，由抛物线的定义可知，点运动形成的图形是抛物线的一部分故选D3（安徽省蚌埠市第一中学2019届高三上学期期中考试）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为A BC D【答案】C【解析】C点满足且+=1，A、B、C三点共线，C点的轨迹是直线AB，又A(3,1)、B(1,3)，直线AB的方程为：，整理得x+2y5=0，故C点的轨迹方程为x+2y5=0.故选C 4 （浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试）已知直角坐标系中，动点满足，则点的轨迹方程是
6、_；轨迹为_【答案】；一个圆【解析】设点，由题意：得，整理得到点P的轨迹方程为，即，其轨迹为圆.5（河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上学期第四次质量考评）已知点在椭圆上， 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的中点，则点的轨迹方程是_.【答案】【解析】设，则点M在椭圆上，即P点的轨迹方程为6（江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心的轨迹方程.【答案】【解析】设重心，点，因为，所以，故，代入得.又与不共线，所以，故所求轨迹方程为.7（安徽省江南十校2019届高三第二次联考）已知两个定点，动点到点的距离是它到点距离的2倍.（1）求点
7、的轨迹；（2）若过点作轨迹的切线，求此切线的方程.【答案】（1）动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；（2）或.【解析】（1）设动点，则，坐标代入得：，化简得：.所以动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；（2）设是圆的切线，则，则，即；当不存在时，恰好与圆切于点，综上，切线方程为或.8（湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考）已知点，的两顶点，且点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）设，求动点的轨迹方程；（3）过点的动直线与曲线交于不同的两点，过点作轴的垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）两直线
8、，的交点恒落在直线上.【解析】（1）设动点，其中.由得.（2）设点，由得，代入（1）中的方程得，即曲线的轨迹方程为.（3）显然过点的直线不垂直于轴，设，同时设，.由消去，整理得.由根与系数的关系得：，.直线.直线.联立求解交点，消去得：.把及代入上式得：（与无关）.故两直线，的交点恒落在直线上.9（河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评）已知圆，定点，点为圆上的动点，点在直线上，点在直线上，且满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作斜率为的直线，与曲线交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】（1
9、）已知，则为线段的中点且，则为的中垂线，故，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，故点的轨迹的方程是.（2）设直线的方程为，由得，则，解得. 故存在这样的直线，使得，此时其斜率的取值范围是.10（云南省师范大学附属中学2018届高三适应性月考）已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）.（1）求动点的轨迹方程；（2）当时，得到动点的轨迹为曲线，斜率为1的直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设动点，则，且，又，得，代入得动点的轨迹方程为（2）当时，动点的轨迹曲线为设直线的方程为，代入中，得，由，得，设，点到直线的距离，当且仅当，即时取到最大值面积
10、的最大值为 1（2016新课标全国I理科）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（I）证明见解析，点的轨迹方程为：（）. （II）.【解析】（I）因为，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（II）当与轴不垂直时，设的方程为，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面
11、积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.2（2017新课标全国II理科）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线上，且证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F 【答案】（
12、1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设，则由得因为在C上，所以因此点P的轨迹方程为【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程3（2015广东理科）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交
13、点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】（1）圆化为，所以圆的圆心坐标为.（2）设线段的中点为，由圆的性质可得垂直于直线.设直线的方程为（易知直线的斜率存在），所以，所以，所以，即.因为动直线与圆相交，所以，所以.所以，所以，解得或，又因为，所以.所以满足.即中点的轨迹的方程为.（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.结合图形， 表示的是一段关于轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在轴对称下方的圆弧.设，则，而当直线与轨迹相切时，解得.在这里暂取，因为，所以.LxyOC 结合图形，可得对于轴对称下方的圆弧，当或时，直线与轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当或时，直线与轴对称上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述，当或时，直线与曲线只有一个交点.17
