《2019高考数学复习高频考点09正余弦定理及解三角形考点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学复习高频考点09正余弦定理及解三角形考点（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019高考数学复习高频考点解读解密09 正、余弦定理及解三角形 高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用正、余弦定理解三角形解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点2018课标全国172018课标全国62018课标全国92017课标全国172016课标全国8解三角形的实际应用2015湖北13解三角形与其他知识的交汇问题2017课标全国172016课标全国17考点1 利用正、余弦定理解三角形题组一 利用正、余弦定理解三角形调研1 在中，,分别是角，的对边，且
2、，则= A BC D【答案】C【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.由已知及正弦定理可得，结合余弦定理可得，由余弦定理解得，结合的范围，即可求得的值.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.调研2 在中，角所对的边分别为，且（1）求角； （2）若，求，【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理，得 又因为在中所以 法一：因为，所以，因而所以，所以 法二：即， 所以，因为，所以 （2）由正弦定理，及，所以，由余弦定理，得，即， 把代入得.【
3、名师点睛】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小；（2）利用正弦定理、余弦定理，转化求解即可 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.技巧点拨利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化若想“边”往“角”化，常利用“a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C”；若想“角”往“边”化，常利用
4、sin A，sin B，sin C，cos C等题组二 与三角形面积有关的问题调研3 在中，内角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的面积为_【答案】【解析】由题意得，即，故答案为.【名师点睛】由正弦定理可把其中一边化为角，从而由及由公式求得面积.正弦定理：，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为.调研4 如图，在中，点D在边AB上，CDBC，AC5，CD5，BD2AD(1)求AD的长；(2)求的面积【答案】(1)5；(2).【解析】(1)在中，因为BD2AD，设ADx(x0)，所以BD2x.在中，因为CDBC，CD5，BD2x，所以cosCDB.在中，因为ADx
5、，CD5，AC5，所以cosADC.因为CDBADC，所以cosADCcosCDB，即，解得x5.所以AD的长为5.(2)由(1)求得AB3x15，BC5.所以cosCBD，从而sinCBD.所以SABCABBCsinCBA155.题组三 三角形形状的判断调研5 在中，三边、所对的角分别为、，若则的形状为A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D不能确定【答案】C【名师点睛】由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质整理计算即可确定三角形的形状.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关
6、系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响调研6 中,角的对边分别是，且.(1)求;(2)若的面积为,试判断此三角形的形状.【答案】(1)60；(2)等边三角形.【解析】(1)由正弦定理及得,，即,.(2),由余弦定理得: =,故是等边三角形.技巧点拨判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点2 解三角形的实际应用题组 解三角形的实际应用调研1 如图
7、，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择两观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为在水平面上测得，两地相距600m，则铁塔的高度是A BC D【答案】D【解析】设铁塔的高度是h,因为两点测得塔顶的仰角分别为，所以,因为两地相距600m，所以,解得（舍负）,故选D.【名师点睛】先根据直角三角形用高表示BC,BD,再根据余弦定理解方程得高.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.技巧点拨高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点
8、之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度调研2 如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）；（2）.【
9、解析】（1）在中，由正弦定理，即，故的距离是千米 （2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要当时， 即，解得，又，所以，时长为小时 当时， 即，解得，又，所以，时长为3小时综上，3（小时）答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时【名师点睛】本题考查解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决问题的能力，属于中档题.（1）在中，然后由正弦定理可得BP；（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要，当时，当时，分别求得对应的时长再求和即得到结论.技巧点拨解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求
10、的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步考点3 解三角形与其他知识的交汇问题题组一 解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是_.【答案】.【解析】由，得，所以， 则由余弦定理，得，解得，又， 所以的范围是.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是
11、高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.调研2 在中分别为角的对边,已知的面积为又(1)求角的大小;(2)求的值.【答案】(1)；(2)【解析】(1)因为所以=又因为为的内角,所以所以(2)由及得又,所以题组二 解三角形与平面向量相结合调研3 在中，若，则_【答案】【解析】根据题意，设，则，根据，得，由勾股定理可得，根据余弦定理可得，化简整理得，即，解得，所以，故答案是.【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余
12、弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.调研4 如图,在中,已知点在边上,且, ,(1)求的长;(2)求【答案】(1)3；(2).【解析】(1)因为所以所以即在中,由余弦定理,可知，即解得或因为所以(2)在中,由正弦定理,可知又由可知所以因为所以. 1（安徽省合肥市2018届高三调研性检测数学试题）在中，角对应的边分别为，则A1 B2 C3 D【答案】A【解析】由余弦定理有，代入已知值有解得.故选A.2（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学试题）已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b=1，c=，且，则a=A1或 B1或C1或2 D或【答案】C【解析】由，又
13、b=1，所以，又cb，所以B角一定是锐角，所以.再由或，当，当，ABC为等腰三角形，所以.故选C.【名师点睛】解三角形常利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系结论一般为特殊的三角形如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响3（贵州省黔东南州2018届高三下学期第二次模拟考试数学试题）在中，内角所对的边分别为,已知，且，则面积的最大值为A BC D【答案】B【解析】由已知有，由于，又，则，当且仅当时等号成立.故选B.4（【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试高三模拟研卷卷四数学试题）在中，角的对边分别为，且的面积为，则的周长为A BC D【答案】D【解析】在中，则，即，由余弦定理可得：，即，又，ABC的周长为.本题选择D选项.【名师点睛】由
