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1、29.1 几何问题的处理方法（第1课时）29.1.1 用推理方法研究三角形教学目标知识技能目标1掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力教学重点1掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题教学难点在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力一、情境导入请同学们按以下步骤画ABC1任意画线段BC；2以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角BC，角的两边交于点A
2、这个ABC是一个什么三角形？怎么知道ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到ABAC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边同学们是否想过，为什么当ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题二、探究归纳1求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等已知：如图，在ABC中，BC求证：ABAC分析要证明ABAC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画BAC的平分线AD等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等
3、边” 说明(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形(2)推理形式：因为在ABC中，BC（已知）所以ABAC（等角对等边）2同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质先试着画出图形，写出已知，求证求证：等腰三角形的两个底角相等已知：ABC中，ABAC求证：BC分析仍可通过画BAC的平分线AD来构造全等三角形等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角” ）推理形式：因为ABC中，ABAC（已知）所
4、以BC（等边对等角）说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；(2)由BADCAD，可进一步推得BDCD，BDACDA90，因此AD也是中线，是BC边上的高线等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一” ）在半透明纸上画AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为点D和点E沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PDPE，由此，我们得到了角平分线的性质请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充已知
5、：OC是AOB平分线，点P是OC上任意一点，PDOA，PEOB，点D、E为垂足求证：PDPE分析只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题已知：如图，QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上分析要证点Q在AOB的平分线上，即QO是AOB的平分线，画射线OQ，只要证AOQBOQ，利用HL证明DOQEOQ，得AOQBOQ角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上前面我们已经用逻
6、辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？1命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_，结论是_；命题“内错角相等，两直线平行”的题设是_，结论是_在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题所以上述两个命题叫做互逆命题，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角
7、相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以2每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设与结论互换，便可得到原命题的逆命题但是，原命题正确，它的逆命题未必正确，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题3我们知道定理是命题，所以定理一定有逆命题我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是真命题，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理再比如等腰三角形的性质定
8、理与判定定理也是互逆定理，同学们能否再举一些互逆定理？例题：例1如图，ABC中，ABAC，E是AC上一点，A2EBC求证：BEAC分析由已知条件A2EBC，联想到作A的平分线AD，则CADEBC，且ADBC，所以EBCCCADC90，即BEAC例2 如图，已知BEAC，CDAB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且12求证：OBOC分析 要证明OBOC，只要证明OBDOCE，可利用角平分线及垂线的条件得ODOE例3 写出下列命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假(1)全等三角形的面积相等；(2)同角的余角相等；(3)如果|a|b|，那么ab；(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分
9、线上；(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等例4 写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题，并证明逆命题是真命题已知：ABC中，ABc，BCa，ACb，且a2+b2c2求证：ABC是直角三角形分析 首先构造一个直角三角形ABC，使得C90，BCa， CAb，然后可以证明ABCABC，从而可知ABC是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形例5 如图，四边形ABCD是边长a为的正方形，M为AB中点，E为AD上一点，且AEAD求证：EMC是直角三角形作业：1、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F求证：点F在DAE的平分线上2如图，已知RtABC中，C90，ACBC，BAC的平分线交BC于点D求证：ABCD+AC3 给定一个三角形的两边长分别是5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？
