同余在数学竞赛中的应用

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1、 毕业论文题目：同余在数学竞赛中的应用 目 录标题1摘要1引言2161 同余的概念22 同余的基本性质33 同余性质在算术里的应用4 3.1检查因数的一些方法4 3.2弃九法（验证明整数计算结果的方法）5 3.3同余性质的其他应用6 3.3.1利用同余理论求余数6 3.3.2利用同余可以证明整除问题74 利用同余性质求简单同余式的解8 4.1一次同余式、一次同余式解的概念8 4.2 孙子定理解一次同余式组8 4.3 简单高次同余式组及，为质数， 的解数及解法的初步讨论9 4.4简单二次同余式，解的判断11结论13参考文献14致谢15同余在数学竞赛中的应用【摘 要】 同余理论是初等数论的重要组成

2、部分，是研究整数问题的重要工具之一，在处理某些整除性、对整数的分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能。与之相关的数论定理有欧拉定理、费尔马定理、和中国剩余定理。同余是数学竞赛的重要组成部分。本文从数学竞赛这个大范围入手，局限于数论在数学竞赛中的地位和作用，选择同余性质作为切入点，介绍了同余理论的系统知识及同余性质的一些简单应用，并对数学竞赛中有关同余理论的应用作了系统的划分，每一部分都有相关及紧密联系的例题加以举例说明。【关键词】 同余 同余理论 数学竞赛引言数论的一些基础内容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练。而整数论知

3、识是学习数论的基础，其中同余理论也是整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的。在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一。我国古代孙子算经里已经提出了同余式, 这种形式的问题，并且很好地解决了它。宋代大数学家秦九韶在他的数学九章中提出了同余式, , 是个两两互质的正整数，,的一般解法。同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深

4、刻的数学概念，方法，技巧求解。例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等。在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆内格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题。数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握。所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性质的一些简单应用，通过本文的阐述，希望可以为对数论有兴趣的读者，增加学习数论知识的兴趣，并能为他们

5、攻破那些经典的数论难题开展数论课题提供一些帮助。1 同余的概念给定一个正整数，把它叫做模，如果用去除任意两个整数与所得的余数相同，我们就说对模同余，记作,如果余数不同，就说对模不同余。定义（）：如果，则称与关于模 同余；定义（）：若，则称与关于模 同余；显然，若0(mod)，则m。2 同余的基本性质定理1、同余关系是等价关系，因为由同余定义知： ；（反身性）,则；（对称性）,则。 （传递性） 定理2、设（mod）， （mod），则 （1）（mod）；（2）（mod）。证明：（1）（mod），（mod），（）（）（）（），故 （mod）；（2）（）（）， ， 故 （mod）。推论1 若（mod）

6、，1，2，则（1）（mod）；（2）（mod）。推论2 若 (mod)，则（mod）。定理3 若（mod），（mod），且（，）1，则 （mod）。证明：（）（），（mod），（）。因（，）1，故，即（mod）。推论 若（mod），且（，）1，则 (mod)。定理4 （欧拉定理）设是大于1的整数，则。 注：若是质数，则。定理5（费尔马定理）设是质数，对于任何整数，都有成立，即证明：（数学归纳法）（1）当时显然成立。（2）假设当时成立，即，则当时，= ，而，（），由归纳法知，即时命题成立，故得证明。推论：是质数，且不能整出，则，即，也成为费尔马小定理。3 同余性质在算术里的应用3.1检查因数的一

7、些方法（1）一整数能被3(9)整除的充要条件是它的十进位数码的和能被3(9)整除。证明：按照通常方法,把任意整数写成十进位数形式,即, 。 因, 所以由同余基本性质,即当且仅当； 同法可得当且仅当，。例1 =5874192，则，36能被3，9整 除，则能被9整除。例2 =435693，则，能被3整除，但不能被9整除当且仅当3是的因数，9不是的因数。（2）设正整数，则7（或11或13）整除的充要条件是7（或11或13）整除，。证明：1000与-1对模7（或11或13）同余根据同余性质知，与对模7（或11或13）同余；即7（或11或13）整除当且仅当7（或11或13）整除，。例3 =637693，

8、则，能被7整除而不能被11或13整除当且仅当7是的因数但11，13不是的因数例4 =75312289，能被13整除，而不能被7，11整除当且仅当13是的因数，而7与11不是的因数（3）应用检查因数的方法求出某个正整数的标准分解式例5 写出1535625的标准分解式解：， ， ， ， ，由例2得， ， 又， ， 。 3.2 弃九法（验证明整数计算结果的方法）我们由普通乘法的运算方法求出整数，的乘积是，并令，如果与对模9不同余，那么所求得的乘积是错误的。特别的，在实际验算中，若，中有9出现，则可去掉（因）。例1 =28997，=39495，按普通计算方法算得，乘积是=1145236515， 按照上

9、述弃九法，。 但与5对模9不同余，所以计算有误。例2 若=28997，=39495，=1145235615，那么。解：按照上述弃九法，。虽然与6对模9同余，但是由通常乘法计算得到，故不成立。注：当使用弃九法时，得出的结果虽然是也还不能完全肯定原计算是正确的。3.3同余性质的其他应用3.3.1利用同余理论求余数利用费尔马定理首先得到，然后利用同余的性质将题中的次数降幂例1 求7除的余数解：由，得 。 即除以7余数为4。例2 试证明：形如的整数不能表为三个平方数之和证明：假定，则，但这不可能。因为对模8而论，每一个整数最小非负余数只能是0，1，2，3，4，5，6，7中的一个数。 而，。 因此，任一

10、整数平方对模8必与0，1，4三个数之一同余，而从0，1，4中任取三个数，其和都不可能与7对模8同余，所以对于任何整数，都有与7对模8不同余。 即形如的整数不能表为三个平方数之和。3.3.2利用同余可以证明整除问题利用，则称与关于模 同余例3 试证明：能被10整除证明：由已知条件有， 又， ，即 也就是说，能被10整除。例4 设且，求证明：证明：对模6来说每一个整数的最小非负数余数为0，1，2，3，4，5 ，即对任何整数， ， 又 故例5 若，证明能被30整除证明：设，则 由， 即， 同理可知 又 故能被30整除。4 利用同余性质求简单同余式的解4.1一次同余式、一次同余式解的概念在代数里面，一个主要问题就是解代数方程。而同余性质在数论中的应用主要体现在同余在方程中的应用，也就是求同余式的解。一次同余式的定义：若用 表示多项式，其中是整数，又设是一个正整数，则 叫做模的