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1、高考数学小题精练 第11练 立体几何综合一、单选题1给出下列命题，其中错误命题的个数为( )（1）直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；（2）直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线、不垂直，则过的任何平面与都不垂直；（4）若直线和共面，直线和共面，则和共面A 1 B 2 C 3 D 4【答案】C【解析】【分析】分别利用空间点线面位置关系的公理和定理，对四个命题逐一判断其是否为错误命题，由此得出正确的选项.【详解】【点睛】本小题考查空间点线面的位置关系.主要解题的思路是对每个命题，举出反例，由此判断命题是否正确.属于基础题.2如图，棱长为的正方体中，为中点，这直
2、线与平面所成角的正切值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】先作出直线D1M与平面ABCD所成角，然后求解即可【详解】【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解. 3设为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是（ ）A ， B ， C ， D ， 【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于A，若mn，m时，可能n或斜交，故错；对于B，mn，mn或m，故错；对于
3、C，mn，mn，正确；对于D，mn，mn或m，故错；故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)对于类似直线平面位置关系的判断，可以利用举反例和直接证明法.4长方体，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】由可得异面直线与所成的角即为与所成的角【详解】【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角4结论5若直线和是异面直线，
4、在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）A 与都不相交 B 与都相交C 至多与中的一条相交 D 至少与中的一条相交【答案】D【解析】【分析】可以画出图形来说明与和的位置关系，从而可判断A、B、C是错误的，而对于D，可以假设不正确，这样直线与、都不相交，可推出和、异面矛盾，这样便说明D正确。 【详解】所以选项C错误；在D中，“至少与中的一条相交”正确，假设直线与、都不相交，因为直线与、都共面，所以直线与、都平行，所以，这与直线和是异面直线矛盾，所以选项D正确。【点睛】本题考查了异面直线的概念，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等基础知识，考查分析、作图能力，是中档题。在
5、直接说明一个命题正确困难的时候，可以说明它的反面不正确，即反证法。6我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】7如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，为的中点，沿将正方形折起，使重合于点，在构成的四面体中，下列结论中错误的是（ ） A 平面B 直线与平面所成角的正切值为C 四面体的外接球表面积为D 异面直线和所成角为【答案】D【解析】因为，所以平面；直线与平面所成角 所以四面
6、体的外接球直径为以为长宽高长方体对角线长,即外接球表面积为 取AF中点M,则异面直线和所成角为，所以错误的是D，选D. 10如图，正方体的对角线上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.设，的面积为，则当点由点运动到的中点时，函数的图象大致是（ ）A B C D 【答案】D【解析】11如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A B C D 【答案】B【解析】【分析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线
7、，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.12如图，矩形中，为边的中点，将直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A 与平面垂直的直线必与直线垂直B 异面直线与所成角是定值C 一定存在某个位置，使D 三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值【答案】C二、填空题13过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面有_个.【答案】3.【解析】分析：根据正四棱锥的图形逐一超出即可.详解：如图：，故过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面，根对称
8、性可得：有面ABCD，面PAC,面PBD，故有三个面，答案为3点睛：考查正四棱锥的特点和二面角定义，熟知正四棱锥的特点是解题关键. 14若直线平面，平面平面，则直线与平面的位置关系为_.【答案】或 【解析】直线平面，平面平面直线平面，或者直线平面故答案为或.15已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为_【答案】【解析】【分析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出的长度【详解】【点睛】本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题。16在三棱锥ABCD中，AB=AC，DB=DC，AB+DB=4，ABBD，则三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为_【答案】【解析】【分析】：先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体的体对角线与的函数关系式，求解体对角线的最小值，由此得出外接球的体积的最小值。 【详解】【点睛】：根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点。
