《湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题（专家解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题（专家解析）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、长沙市2019届高三年级统一模拟考试文科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出集合N，然后对集合M,N取交集即可得到答案.【详解】,则故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化简为a+bi的形式，然后根据复数对应点位于第二象限，即可得到m范围.【详解】,复数对应的点为（
2、），若点位于第二象限，只需m0,故选：C.【点睛】本题考查复数的有关概念和复数的商的运算，属于基础题.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数，选项B，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项C，因为f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故排除；选项A，函数为奇函数且f(x)=cosx-1可知函数在定义域上单调递减，故排除；选项D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，故
3、选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断方法，属于基础题.4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，根据几何概型的概率公式可求【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0x60，等待的时间不多于5分钟的概率为P，故选：B【点睛】本题考查几何概型，先要判断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题5.设，表示不同直线，表示不同平面，下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.
4、真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】对于,由平行公理4,可知正确；对于，若a，显然结论不成立，故错误；对于，若a，b，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故错误；对于，a，a，b，a与b平行或异面，故错误；真命题的个数为1个，故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题6.若，满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形
5、结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件画出可行域如图，即y=2x-z,由图得当z2xy过点O（0，0）时，纵截距最大，z最小为0当z2xy过点B（1，-1）时，纵截距最小，z最大为3故所求z2xy的取值范围是故选：A【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.7.已知，是双曲线的
6、上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，根据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，故选：.【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简单应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.8.若，则的最小值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可直接得到所求最小值.【详解】，于是或（舍），当时取等号，则a+b的最小值为
7、4，故选.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.9.已知是函数 图象的一个最高点，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可得函数周期，从而得点B,C的坐标，即是图象的对称中心.【详解】因为P是函数图象的一个最高点，是与相邻的两最低点，可知|BC的周期，半个周期为3，则得，由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，故选：.【点睛】本题考查函数 的周期性和对称性，属于基础题.10.在中，且是的外心，则 （ ）A. 16 B. 32 C. -16 D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定
8、义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.11.已知抛物线的焦点为，点 在上，.若直线与交于另一点，则的值是（ ）A. 12 B. 10 C. 9 D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.【详解】法一：因为 在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，由抛物线的定义，得，所以.故选.法二：直线过焦点，又，所以，故选.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求
9、过焦点的弦长问题，考查学生计算能力.12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。【详解】有三个零点，有一个零点，故，有两个零点，代入的解析式，得到，构造新函数，绘制这两个函数的图像，如图可知因而介于A,O之间，建立不等关系，解得a的范围为，故选A。【点睛】本道题考查了函数零点问题，难度加大。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 _【答案】1【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的
10、切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为-1即可得a值.【详解】，所以切线的斜率，又切线与直线垂直得，解得.故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则 _【答案】【解析】【分析】由三角函数定义可得和，然后利用正弦的二倍角公式计算即可得到答案.【详解】由三角函数定义可得，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角函数定义和二倍角公式的应用，考查学生计算能力，属于简单题.15.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由得为异面直线与所成角，求解即可.【详解】在正方体中
11、，连、，则，所以为异面直线与所成角，点与重合，最大，且最大为，当点与无限接近时，趋近于零，故异面直线与所成角的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成角，求异面直线所成角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解.16.中，内角，所对的边分别为，.已知，且，则面积的最大值是_【答案】【解析】【分析】由正弦定理将已知化简可得角B，再由余弦定理和基本不等式得ac的最大值，即可得到面积的最大值.【详解】由及正弦定理得，即，又，于是可得，即，.在中，由余弦定理得，即，又因为，由此可得，当且仅当时等号成立，面积，故面积最大值为.故答案为：
12、【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于常考题型.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列的首项，且对任意的，都有，数列满足，.（）求数列，的通项公式；（）求使成立的最小正整数的值.【答案】（），;（）10【解析】【分析】（）由已知的递推关系式可知数列为等差数列，从而可得的通项公式，代入可得的通项公式；（）利用分组求和法和等比数列的求和公式得到数列的前n项和,通过判断数列的单调性可得满足条件的n的值.【详解】（）令得，解得.又由知 ，故数列是首项，公差的等差数列，于是，.（）由（）知，
13、.于是 .令，易知是关于的单调递增函数，又，故使成立的最小正整数的值是10.【点睛】本题考查等差，等比数列的通项公式和等差，等比数列的前n项和公式的应用，以及数列单调性的判断，考查学生推理和计算能力.18.如图，已知三棱锥的平面展开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（）证明：平面平面；（）求三棱锥的表面积和体积.【答案】（）详见解析（）表面积，体积【解析】【分析】（）由题意知和为等腰三角形，可取AC中点O，连接PO,OB，可证明平面然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（）求各个面的面积之和即可到棱锥的表面积，由平面，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案.【详解】解：
14、（）设的中点为，连接，.由题意，得，.因为在中，为的中点，所以.因为在中，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（）三棱锥的表面积 ，由（）知，平面，所以三棱锥的体积为 .【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算，考查学生的空间想象能力和计算能力.19.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：超过1小时不超过1小时男208女12m（）求，；（）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（）以样本中学生参加社区
