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1、高中培优联盟高中培优联盟 2018-20192018-2019 学年高二上学期冬季联赛学年高二上学期冬季联赛 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. . 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先写出 A 的补集，再根据交集运算求解即可. 【详解】因为，所以 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于容易题. 2.在区间内随机
2、取一个实数 ，则满足的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数不等式可解得，由几何概型的概率公式即可求解. 【详解】因为，所以，根据几何概型的概率公式知：，故选 B. 【点睛】本题主要考查了指数不等式，几何概型的概率，属于中档题. 3.若满足约束条件 ，则的最大值为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【详解】作出可行域如图： 作出直线，平移直线，当直线经过点 A 时，Z 有最大值. 由 解得 ， 所以，故选 A. 【点睛】本题主要考查线性
3、规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函 数取得最优解的条件是解决本题的关键 4.已知等比数列满足，则（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式可求出公比，即可求解. 【详解】因为，可解的， 所以 ， 故选 B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题. 5.已知函数，则等于（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分段函数的解析式，将 和分别代入计算即可. 【详解】， ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了分段函数，函数值的计算，属于中档题. 6
4、.已知双曲线 的离心率为，则 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，故，即，故渐近线方程为. 【学科网考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力. 7.函数的部分图象如图所示，则向量与的数量积为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 根据解析式可求出点 A,B 的坐标，写出向量与，计算即可. 【详解】根据图象，由 可得，由，可得， 所以,=,=, 所以 =6 故选 D. 【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质，数量积的坐标运算，属于中档题. 8.命题 ：复数对应的点在第二象限；命题 ：，使得，则下列命题中
5、为真命题的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 判断 p,q 的真假，根据含逻辑联结词且或非命题的真假判定即可. 【详解】因为对应的点在第一象限，所以命题 p 是假命题，作出与的图象可知， 存在唯一交点，所以命题 q 是真命题. 所以 是真命题，是真命题， 故选 C. 【点睛】本题主要考查了命题，复合命题真假的判定，属于中档题. 9.我国有一道古典数学名著两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自 半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直） ，大老鼠第一天进一尺， 以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后
6、每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚 16 尺，如图是源 于该题思想的一个程序框图，则输出的（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析 循环中各变量值的变化情况，可得答案 【详解】程序执行第一次后，执行第二次后，执行第 3 次后， ，执行第 4 次后，跳出循环，输出，程序结束， 故选 B. 【点睛】本题主要考查了循环结构的框图，属于中档题. 10.已知函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 最大值为 2 B. 把函数的图象向右平移 个单位长度就得到的图
7、像 C. 最小正周期为 D. 单调递增区间是， 【答案】B 【解析】 【分析】 化简函数解析式得，根据正弦型函数性质即可求解. 【详解】因为 ，根据正弦型函数性质可知，最大值为 2，最小正周期为 ，把 的图象向右平移 个单位长度可得，错误，令解得 ，故单调递增区间是，正确，综上选 B. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题. 11.已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则有下面四个命题：若，则 ；若，则；若，则；若，则.其中所有正确的命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据线面、面面位置关系逐项分析即可. 【详解】因为，所以，由可知，
8、故正确， 可能在 内或与 平行，推 不出，故错误，可推出,又，所以，故正确, 若相交交线为m,则，推 不出，故错误. 综上可知选 A. 【点睛】本题主要考查了线线、线面、面面平行垂直的判定与性质，属于中档题. 12.已知定义在 上的奇函数满足，当时，则函数在区间上 所有零点之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 根据奇函数满足，可知其周期为 4，一条对称轴为，可作出函数在上的图象，再作 出在上的图象，根据图象知两函数关于成中心对称，所以四个零点关于成中心对称，所 以零点之和为. 【详解】根据奇函数满足，可知其周期为 4，一条对称轴为,可由 向右平移
9、 两个单位得到，在同一坐标系作出与的图象如图： 由图象可知与都关于成中心对称，所以四个零点也关于成中心对称，设从小到大四个零 点为，则，所以四个零点之和为 8，故选 D. 【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数的图像，函数的周期性和对称性，属于难题. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.已知，若，则实数_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据垂直向量的充要条件得，根据数量积坐标运算求得 m 即可. 【详解】因为，所以，解得，故填 . 【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，数量积的坐标运算，属于中档题. 1
10、4.在中，角的对边分别是，若，且，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角余弦公式可得，再利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，所以， 由余弦定理知， 所以，故填. 【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式，余弦定理，属于中档题. 15.若直线过圆的圆心，则的最小值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由求出圆心，代入直线方程，结合，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】因为圆的圆心为，直线过圆心， 所以， 又 所以 当且仅当即时等号成立 所以的最小值为 9，故填 9. 【点睛】本题主要考查了圆的方程，基本不等式，属于中档题. 16.在平面直角坐标系中，圆 的方程为，若直线上至少存在一点
11、，使得以该点为 圆心，1 为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值为_ 【答案】 【解析】 试题分析：由于圆 C 的方程为（x-4）2+y2=1，由题意可知，只需（x-4）2+y2=4 与直线 y=kx-2 有公共点即可。 解：圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆 C 是以（4，0）为圆心，1 为半径的圆；又 直线 y=kx-2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，只需圆 C：（x-4）2+y2=4 与直线 y=kx-2 有公共点即可设圆心 C（4，0）到直线 y=kx-2 的距离为 d， 即 3k24k，0k ，故可
12、知参数 k 的最大值为 考点：直线与圆的位置关系 点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x-4）2+y2=4 与直线 y=kx-2 有公共点”是关键，考查学 生灵活解决问题的能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. .第第 17211721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生依据要求作答题为选考题，考生依据要求作答. . 17.在中，角的对边分别是，且. （1）求角 的大小； （2）已知公差为的
13、等差数列中，且成等比数列，记，求数列的前 项和. 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理可得，再根据三角函数恒等变换即可求出，又 为三角形的内角，可得（2）先求出等差数列，再根据裂项相消法求的前 n 项和. 【详解】 （1）由正弦定理可得， 从而可得，即 又 为三角形的内角，所以，于是 又 为三角形的内角，所以. （2）因为，且成等比数列，所以，且 所以，且，解得 所以，所以 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，裂项相消法求数列的和，属于中档题. 18.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级 有
14、男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表一：男生 等 级 优 秀 合 格 尚 待改进 男 生 频 数 1 5 表二：女生 等 级 优 秀 合 格 尚 待改进 女 生 频 数 1 5 （1）求 , 的值； （2）从表二的非优秀学生中随机抽取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概率； （3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 男生女生总计 优秀 非优秀 总计 45 参考公式：，其中. 参考数据： 0.010.05
15、0.01 2.7063.8416.635 【答案】 （1）；（2） ；（3）没有. 【解析】 【分析】 （1）设从高一年级男生中抽出 m 人，利用分层抽样的性质列方程就出 m,从而能求出 x,y.（2）表中非优秀学生 5 人， 记测评等级为合格的 3 人为 a,b,c,尚待改进的 2 人为 A,B，由此利用列举法能求出从 5 人中任选 2 人，所选 2 人 中恰有 1 人测评等级为合格的概率（3）根据列联表直接计算即可根据结果得出结论. 【详解】 （1）设从高一年级男生中抽取 人，则 解得，则从女生中抽取 20 人 所以，. （2） 表二中非优秀学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为，尚
16、待改进的 2 人为，则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为，共 10 种 记事件 表示“从表二的非优秀学生中随机选取 2 人，恰有 1 人测评等级为合格” ，则 的结果为， ，共 6 种，所以，即所求概率为 . （3）列联表如下： 男生女生总计 优秀 151530 非优秀 10515 总计 252045 ， 因为， 所以没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 【点睛】本题主要考查了分层抽样，古典概型概率，相关性检验，属于中档题. 19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为中点，且 ，. （1）平面； （2）若 为线段上一点，且平面，求的值； （3）求四棱锥的体积. 【答案】 （1）详见解析；（2） ；（3） . 【解析】
