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1、浙江省台州市联谊五校2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为直线的倾斜角为，所以的斜率是，故选D.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2.过点且斜率为的直线方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用直线的点斜式方程写出所求直线方程，再化为一般式即可.【详解】直线过点且斜率
2、为 ,则直线的方程为，即，故选B.【点睛】本题考查直线的点斜式方程的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】若,，则或，即选项A错误；若，则或，即选项B错误；若，则平行或垂直或相交，即选项D错误；故选C.4.下列直线中，与直线垂直的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出选项中各直线的斜率，判断所求斜率与直线的斜率之积为是否为即可得结果.【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为2 ,的斜率为，的斜率为 ,的斜率为，可得直线的斜率与的斜率之积为-
3、1，与直线垂直的是，故选C.【点睛】本题考查了直线的一般式方程求直线斜率以及斜率与直线垂直的关系，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题.5.点到直线的距离是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】点到直线的距离，故选A .【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，意在考查利用所学知识解答问题的能力，属于基础题.6.在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，求出与的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值.【详解
4、】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，设异面直线与所成角的为，则，异面直线与所成角的余弦值为，故选B.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角以及空间向量的应用，属于中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7.对任意的实数，直线恒过定点( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由时,总有即可得结果.【详解】为任意实数时,若时,总有所以直线恒过定点,即定点,故
5、选A.【点睛】判断直线过定点主要方程形式有：（1）斜截式，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.8.已知直线过点且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为( )A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先由的坐标求得直线和斜率,再根据直线的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线绕点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线斜率的范围，从而可得结果.【详解】点、直线的斜率，可得直线的斜率，直线与线段交于点，当直线的倾斜角为锐角时，随着从向移动的过程中，的倾斜角变大，的斜率也变大，直到平行轴时的斜率不存在，此时的斜率；当直线的倾斜角为钝角时，随着的倾斜角变大，的斜率
6、从负无穷增大到直线的斜率，此时的斜率，综上所述，可得直线的取值范围为或，故选D.【点睛】本题通过经过定点的直线与线段有公共点，求的斜率取值范围，着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用，以及数形结合思想、转化思想的应用，属于中档题.9.如图，在三棱锥中，面，点是的中点，且，则当变化时，直线与面所成角的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，令直线与平面所成的角为，求出平面的一个法向量和，由向量夹角公式，得到，进而得到直线与平面所成角的取值范围.【详解】设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量，则由，得，可取，又，于是，又，
7、即直线与平面所成角的取值范围为,故选C.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.10.如图，设梯形所在平面与矩形所在平面相交于，若，则下列二面角的平面角大小为定值的是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在等腰梯形中,过作于，作于,连接,可得为二面角的平面角，为二面角的平面角，由平面平面，可
8、得二面角的平面角为，进一步求得得结果.【详解】如图，在等腰梯形中,过作于，作于,连接,在梯形中,由，可得，由三角形直角三角形，且，可得，则，即，则平面，为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，平面平面，则二面角的平面角为，与均为等腰三角形，即二面角为，故选D.【点睛】本题主要考查二面角的求解法，意在考查数形结合思想、转化思想以及空间想象能力，属于难题. 求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，或者利用“互补法”、“分割法”、“公式法”求解.二、填空题:本大
9、题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分.把答案填在题中的横线上.11.直线的倾斜角为_；在轴上的截距为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由斜截式方程可知，直线的斜率为1，由可得；令，从而可得结果.【详解】由斜截式方程可知，直线的斜率为1，设倾斜角为，则，由可得；令，所以，直线在轴上的截距为，故答案为 ， .【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，以及直线的截距，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.12.已知，则线段的中点坐标为_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】直接利用中点坐标公式可得线段的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得的值.【详解
10、】设线段的中点坐标为，由中点坐标公式可得，即线段的中点坐标为，可得 ，故答案为 ， .【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用以及空间向量模的坐标表示，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_；该四面体四个面的面积中最大的是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由三视图还原几何体，利用三视图中数据，根据锥体的体积公式可得其体积，根据三视图的图形特征，判断四面体每一个面的形状，分别求出四面体四个面的面积，从而可得结果.【详解】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图 ,该棱锥的底面是直角三角形，面积为，高为4，可得体积为；四个
11、面都是直角三角形，由三角形面积公式可得，四个面的面积分别为，面积的最大值10，故答案为8，10.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.14.已知直线与，则直线与的交点坐标为_；过直线与的交点且与直线平行的直线方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】联立直线和的方程组成方程组，直接求解交点坐标；求出与直线平行的直线
12、的斜率，利用点斜式方程求出过直线与的交点且与直线平行的直线方程.【详解】由，解得交点坐标为，所求直线与直线平行，则所求直线方程的斜率为，由点斜式方程可得，整理得，直线方程为，故答案为， .【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.15.已知直线在两坐标轴上的截距相等.则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】讨论直线过原点和直线不过原
13、点两种情况，分别利用截距相等求出的值即可.【详解】当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距均为0 , ；当直线不过原点时,由截距相等且均不为0，求得直线轴上的截距为，直线轴上的截距为，由可得，故答案为2或0.【点睛】本题考査了直线的截距与直线方程，意在考查分类讨论思想的应用以及对基础知识掌握的熟练程度，是一道基础题.求解有关直线截距的问题时，一定要注意讨论截距是否为零，这是易错点.16.设，是直角梯形两腰的中点，于，如图所示，现将沿折起，使二面角为，此时点在面内的射影恰为点，则，的连线与所成角的大小为_.【答案】【解析】【分析】先取的中点,可证明四边形为平行四边形，则，则锐角就是异面直线与所成的
14、角,可证明三角形是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果.【详解】如图，取的中点,连接，且，四边形为平行四边形，则，就是所求角可得三角形是等腰直角三角形，所以，即的连线与所成的角大小等于，故答案为.【点睛】求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.17.如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，设，则的取值范围是_【答案】【解析】当位于的中点，点与中点重合，随点到点，由，得平面，则又，则因为，所以，故综上，的取值范围为点睛
