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1、2018-20192018-2019 学年山西省太原市高一（上）期中数学试卷学年山西省太原市高一（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3636 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 画数轴结合子集的概念即可得到答案. 【详解】集合， 故选：A 【点睛】本题考查集合间的基本关系. 2.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根
2、据二次根式的性质以及分母不为 0，求出函数的定义域即可 【详解】要使函数有意义，只需 x0， 故选：B 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质. 3.若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出集合 A 和 B，取两集合的交集即可 【详解】由集合 A 得：（x-5）（x+1）=0，解得：x=5 或 x=-1，集合 A=-1，5， 由集合 B 解得：x=1 或 x=-1，集合 B=-1，1， 则 AB=-1 故选：C 【点睛】本题考查集合的交集运算. 4.已知函数，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利
3、用函数解析式得 log2a=2，即可得 a 的值 【详解】根据题意，f（a）=2，则 log2a=2， 解可得：a=4， 故选：A 【点睛】本题考查函数值的计算，关键是掌握函数解析式的定义. 5.已知集合，若 BA=A，则满足该条件的集合 的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得 BA，即可求出满足该条件的集合 B 的个数 【详解】BA=A，BA， 集合 A=0，1， 满足该条件的集合 B 的个数为：22=4 故选：D 【点睛】本题考查满足该条件的集合的个数的求法，考查并集、子集定义等基础知识. 6.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的
4、是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及奇偶性，即可得答案 【详解】根据题意，依次分析选项：对于 A， ,函数为偶函数,由指函数的性质可知在上为 减函数，不符合题意；对于 B，f(-x)=-f(x)，函数为奇函数，不符合题意；对于 C，f(-x)=f(x),函数为偶函数， 由对数函数的性质可知在（0，+）上是增函数，符合题意；对于 D，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性， 不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指对函数图像的性质. 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】
5、 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【详解】由指数函数的性质可知（0，1），1， 由对数函数的性质可知0， 则 cab 故选：C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像的性质. 8.已知全集，集合和关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示 集合中的元素共有（ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 无穷多个 【答案】B 【解析】 试题分析:因，故或，图中阴影部分表示的集合为 ，故该集合中有个元素.应选 B. 考点：补集交集的概念及运算. 9.已知集合中有且只有一个元素，那么实数 的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意分方程为一次方程
6、和二次方程两种情况分别求解. 【详解】由集合中有且只有一个元素， 得 a=0 或, 实数 a 的取值集合是0, 故选：B 【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查单元素集的性质等基础知识. 10.已知函数，则函数的图象（ ） A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据 f（-x）=-f（x） ，可得 f（x）为奇函数，故 f（x）的图象关于原点对称 【详解】，=-=-f（x） ， f（x）为奇函数，故 f（x）的图象关于原点对称， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y
7、 轴对称. 11.已知函数，若对任意的实数 都存在，使得成立，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 分别讨论 x1 和 x1 时，由函数的单调性可得 f（x）的最大值为 f（1）=2，由题意可得所求值 【详解】函数, 可得 x1 时，f（x）递减，可得 f（x）（0，2） ； x1 时，f（x）=递增，可得 f（x）2， 且 x=1 时，f（x）取得最大值 2， 由对任意的实数 x 都存在，使得成立， 可得=1， 故选：A 【点睛】本题考查分段函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力. 12.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A
8、. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用 f（x）的图象可推出 a0，b0，c0，然后即可判断 g（x）的图象. 【详解】由 f（x）的图象可知，f（0）0，b0， 又由图知，得 c0，且 xc 时，f（x）=0，所以 a0， 故二次函数 g（x）=ax2+bx-c 的图象为 B 故选：B 【点睛】本题考查了函数的图象的识别，经常从函数的奇偶性，单调性和特殊点的函数值来考虑 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1212 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 13.已知全集，集合，则_ 【答案】 【解析】
9、 【分析】 由补集的运算即可求出 CUA 【详解】因为全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=2，4， 所以 CUA=3，5， 故答案为：3，5 【点睛】本题考查补集及其运算. 14.函数在上的最大值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由指数函数的性质可得到函数的单调性，从而可得到函数的最大值. 【详解】由指数函数的性质可知 y=2x在 R 上为增函数， 则函数 y=2x-1 在1，3上为增函数， 则其在1，3上的最大值为 f（3）=23-1=7， 故答案为：7 【点睛】本题考查指数函数的单调性以及应用，涉及函数的最值，属于基础题 15.已知函数是定义在 上的奇函数，当时，那么_ 【答案】 【
10、解析】 【分析】 根据奇函数 f（0）=0，求出 m 的值，利用 f(-1)=-f(1)即可得到答案. 【详解】f（x）是定义在 R 上的奇函数， f（0）=0，m=-1，, f（-1）=-f（1）=-（-1+ ）= 故答案为： 【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出 m 值，是解决该类问题的关键 16.已知，函数，若函数的图象与 轴恰有两交点，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可 【详解】函数的草图如图： 函数 f（x）恰有 2 个零点，则 13 或 4 故答案为：（1，3（
11、4，+） 【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断， 考查发现问题解决问题的能力 三、解答題：本大题共三、解答題：本大题共 3 3 小题共小题共 5252 分分. .解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17.已知集合，若，求实数 ， 的值. 【答案】或. 【解析】 【分析】 利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数 a，b 的值 【详解】解：由已知，得（1）或.（2） 解（1）得或， 解（2）得或， 又由集合中元素的互异性 得或. 【点睛】本题考查集合相等的的定义，同时要注意集合中元素的互异性. 18
12、.（1）已知，求 的值； （2）已知，求 的值. 【答案】 （1）；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由对数式可得 x6=8，即可解得 x （2）先利用对数的四则运算得 1+log3x=，然后利用对数相等解得 x 【详解】解：（1）因为，所以， 所以 . （2）因为，所以， 所以， 解得. 【点睛】本题考查了指数与对数的互化，指数与对数的四则运算性质. 19.已知幂函数的图象经过点 （1）求函数的解析式； （2）设函数，求函数在区间上的值域 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设出幂函数解析式，代入点的坐标，即可求出函数的解析式（2）求出 g（x）的解析式，根据函数的单调
13、性 求出函数的值域即可 【详解】解：（1）设，则， 则， 所以. （2）因为， 且函数在区间上为增函数， 所以时，有最大值-1， 时，有最小值-3. 所以函数在上的值域为. 【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查函数的值域以及函数的单调性问题. 20.（A）已知函数在区间上有最小值 （1）求实数 的取值范围； （2）当时，设函数，证明函数在区间上为增函数. 【答案】 （1）；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题意知二次函数的对称轴在区间内，可得 a 的取值范围；（2）求得 g（x）的解析式，运用函数单调性的 定义进行证明 【详解】 （A） （1）函数的图象开口向上，对称轴为， 则函数
14、在上为减函数，在上为增函数， 所以，即实数 的取值范围是. （2）函数， 设，为上任意两个实数，且， 则 ， 由，得， 即， ， 所以函数在区间上为增函数. 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，考查函数单调性的证明，用定义法证明单调性的具体步骤：作差、 变形和定符号、下结论等 21.（B）已知函数，的图象如图所示点，在函数的图象上，点 在函数图象上，且线段平行于 轴 （1）证明：； （2）若为以角 为直角的等腰直角三角形，求点 的坐标 说明：请同学们在（A） 、 （B）两个小题中任选一题作答 【答案】 （1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由 ACy 轴，可得 x1=x3代入函
15、数关系进而证明结论 （2）由ABC 为以角 C 为直角的等腰直角三角形， 可得|AC|=|BC|，y2=y3可得 x3-x2=，化简即可得出 【详解】 （B）证明（1）因为线段平行于 轴，所以， 又， 则. （2）由等腰直角三角形，和，且平行于 轴， 所以，且， 又， 则，解得， 所以， 所以点 的坐标为. 【点睛】本题考查了对数运算性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质. 22.已知函数， （1）若函数为奇函数，求实数 的值 （2）若对任意的都有成立，求实数 的取值范围 【答案】 （I）(II) 【解析】 试题分析：（1） 已知函数为奇函数，由，求得 的值；（2）恒成立问题通常是求最值，将原 不等式整理为对恒成立，进而求在上的最小值，得到结果. 试题解析：（1）因为是奇函数，所以，即所以 对一切恒成立， 所以. （2）因为，均有即成立， 所以对恒成立， 所以, 因为在上单调递增，所以， 所以. 10 分 考点：1.奇函数的特点；2.函数恒成立.3.求最值. 23.已知函数是定义在 上的奇函数，且时，. （1）求函数的解析式并在如图所示的坐标系中作出函数的图象； （2）若对任意的有恒成立，求实数 的最小值 【答案】 （1）详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据函数 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 x0 时
