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1、20182019 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试 高二数学试题高二数学试题 一、填空题：共一、填空题：共 1414 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分请把答案写在答题卡相应位置上分请把答案写在答题卡相应位置上 1.抛物线的焦点坐标是_ 【答案】 【解析】 抛物线的焦点在 轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为. 2.某学校共有 160 名教职工，其中教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名为了了解教职工对学校 在校务公开方面的意见，现拟抽取一个容量为 的样本，其中教师代表抽取了 15 人，则_ 【答案】20 【解析】 【分析】 利
2、用分层抽样的性质直接求解 【详解】由已知条件抽取一个容量为 n 的样本，其中教师代表抽取了 15 人，教师共 120 人， 由分层抽样的定义知， 解得 n20， 故答案为：20 【点睛】本题考查分层抽样的性质,是基础题. 3.某班 60 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低 于 60 分的人数为_ 【答案】30 【解析】 由题意可得： 则成绩不低于分的人数为人 4.根据如图所示算法流程图，则输出 的值是_ 【答案】9 【解析】 【分析】 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况， 可得答案 【详
3、解】模拟程序的运行，可得 S0，n1 满足条件 n6，执行循环体，S1，n3 满足条件 n6，执行循环体，S4，n5 满足条件 n6，执行循环体，S9，n7 此时，不满足条件 n6，退出循环，输出 S 的值为 9 故答案为：9 【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础 题 5.已知一个口袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只红球从中一次随机摸出 2 只球， 则这 2 只球颜色相同的概率为_ 【答案】0.4 【解析】 【分析】 从中一次随机摸 2 只球，写出基本事件总数 n 和这 2 只球颜色相同包含的基本事件数 m，由
4、古典概型概率公式 计算即可 【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只红球 从中一次随机摸出 2 只球，基本事件总数 n10， 这 2 只球颜色相同包含的基本事件个数 m4， 这 2 只球颜色相同的概率为 p=0.4 故答案为：0.4 【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题 6.“”是“”的_条件（填充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要之一）. 【答案】充分不必要 【解析】 试题分析：由于x0 或 x1 当“x1”时， “”成立 即“x1”是“|x|1”充分条件； 当“”成立时，x1 或 x0，即“x1”不一定成立 即“x1”是
5、“”不必要条件 “x1”是“”充分不必要条件故答案为：充分不必要 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 7.函数的定义域是_ 【答案】 【解析】 试题分析：要使函数有意义，需满足，函数定义域为 考点：函数定义域 8.若实数 ， 满足约束条件则的最大值为_ 【答案】9 【解析】 【分析】 由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐 标，代入目标函数得到答案. 【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图所示； 目标函数 zx+2y+4 可化为 y，即斜率为，截距为的动直线， 数形结合可知，当动直线过点 A 时，其纵截距最大，即 z 最大， 由
6、图可知点 A（1，2）， 此时 z 取得最大值为 9； 所以目标函数 zx+2y+4 的最大值为 9 故答案为：9 【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步 骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的 最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优 解坐标代入目标函数求出最值. 9.若双曲线的一条渐近线方程为，则 a= _ 【答案】2 【解析】 双曲线的渐近线方程为，又它的一条渐近线方程为.所以 a=2. 10.函数的单调减区间为_ 【答案】 【解析】
7、 【分析】 求出导函数，解不等式 f(x) 0 得函数的单调递增区间. 11.若“R，”是真命题，则实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 结合二次函数图象可得判别式大于 0，解不等式即可得所求范围 【详解】若“xR，x2+2xa0”是真命题， 则0，即 4+4a0， 解得 a1 故答案为： 【点睛】本题考查不等式成立问题解法，注意运用判别式大于 0，考查运算能力，属于基础题 12.函数在区间上的最大值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数研究函数单调性，由单调性即可求出最大值 【详解】，f(x)+cosx， 令 f(x)0 即 cosx-， 又 x0，2，所以 0x或x2，
8、 f（x）在0，和，2上单调递增，在上单调递减； f（x）在0，2上的最大值为 f（）或 f（2）， 而 f（）=f（2）， 故函数的最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性及求函数的最值，属基础题 13.已知，则的最小值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 将分子分母同时除以得到，换元令然后 t，t0，根据基本不等式求解即可得到最小值 【详解】x，y0，则， 设 t，t0， 则（t+1）+222422， 当且仅当 t+1，即 t1 时取等号，此时 xy， 故的最小值为 2， 故答案为：2 【点睛】本题考查利用换元的方法转为利用基本不等式求最值问题，属于中档题 14.如图
9、，椭圆的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，上顶点为 ，线段的中点为， 直线与椭圆的另一个交点为 ，且垂直于 轴，则椭圆的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知分别求得 A，B，C 的坐标，求出 M 的坐标，得到 AM 的方程，取 xc 求得 D 的坐标，代入椭圆方程求 解 【详解】由已知可得，A（a，0），B（a，0），C（0，b） ，则 M（）， ，则 AM 所在直线方程为 y 取 xc，可得 D（c，） ，代入椭圆方程， 可得，即 整理得：5c2+ac4a20， 则 ca（舍） ，或 5c4a， e = 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查直线与椭圆位置关系的应用
10、，考查计算能力，是中档题 二、解答题：共二、解答题：共 6 6 小题，共小题，共 9090 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 15.（1）求经过点的抛物线的标准方程； （2）求以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程 【答案】 （1）或（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意设抛物线标准方程为 y22px（p0）或，将点 P 代入求解即可 （2）由题意得双曲线 焦点在 x 轴上，可设出标准方程，通过椭圆长轴两端点分别为（5，0）， （5，0） ，焦点为（4，0）， （
11、4，0） ，转化 求解即可 【详解】 （1）由题意得抛物线的焦点在 轴的负半轴或 轴的正半轴 若抛物线的焦点在 轴的负半轴上，设其标准方程为 因为抛物线过点，所以，所以 若抛物线的焦点在 轴的正半轴上，设其标准方程为 因为抛物线过点，所以，所以 综上，所求抛物线的标准方程为或 （2）由题意得双曲线的焦点在 轴上，故可设其标准方程为（，） ，半焦距为 ，因为椭圆 长轴两端点分别为，焦点为， ，故所求双曲线的标准方程为 【点睛】本题考查根据已知条件求抛物线和双曲线的标准方程，考查转化思想以及计算能力 16.已知，直线经过点（1,2） （1）求的最小值； （2）求的最小值 【答案】 （1）8（2）9
12、 【解析】 【分析】 （1）由直线经过点（1,2）可得，然后直接利用基本不等式即可得到 ab 最小值；（2） ，展开利用基本不等式即可得最小值 【详解】因为直线过点，所以 （1）因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，从而，即的 最小值为 8 （2）， 当且仅当，即时取等号，从而最小值为 9 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查转化思想及 1 的运用，属于基础题. 17.已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为 R，求实数 的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）结合二次函数的性质即可得到 f（x）0 的解集；（2）讨论 m 的取值，根据（m+1
13、）x2mx+10 的解集为 R 可得 m 范围 【详解】 （1）当时， 不等式即为， 解之得该不等式的解集为 （2）由题意得的解集为 R 当时，该不等式的解集为，不符合题意，舍； 当时，不符合题意，舍； 当时，解之得 综上所述，实数 的取值范围是 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题 18.如图，在等腰直角中， ，点 ， 分别为，边上的动点，且 设，的面积为 （1）试用 的代数式表示； （2）当 为何值时，的面积最大？求出最大面积 【答案】 （1）（2）当时，的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】 （1）先已知条件得到，利用相似成比例化简即可得
14、到 EC.(2)利用面积公式表示出面积 ，然后求导，判断单调性，由单调性即可得到最值. 【详解】 （1）在中， ， 又，则 在和中，由得， 所以因直角中，则，所以， 代入 ； （2）的面积为 ，则 ， 则 ，得 当时，所以 在上单调递增； 当时，所以 在上单调递减 所以当时， 当时，的面积最大，最大面积为 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查利用导数求函数最值问题，属于基础题. 19.已知椭圆 ：的离心率为，且过点，其右焦点为 点 是椭圆 上异于长轴端点 的任意一点，连接并延长交椭圆 于点 ，线段的中点为， 为坐标原点，且直线与右准线 交于 点 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若，求点 的
15、坐标 【答案】 （1）（2）或 【解析】 【分析】 （1）由离心率得出 a、b、c 的等量关系，再将点 A 的坐标代入椭圆方程，可求出 a、b、c 的值，从而得出椭圆 C 的标准方程；（2）解法 1：设点 P（x0，y0）（y00） ，对 PF 与 x 轴是否垂直进行分类讨论，在两种情况下求中点 M 的坐标，写出直线 OM 的方程，并求出点 N 的坐标，结合条件 MN2OM 以及点 P 的坐标椭圆 C 的方程可 求出点 P 的坐标；解法 2：对直线 PQ 与 x 轴是否垂直进行分类讨论，在第一种情况 PQx 轴时，分别求出点 M、N 的坐标，并对条件 MN2OM 进行验证是否满足题意；第二种情况就是直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 yk（x1）（k0） ，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，并求出线段 PQ 的中 点 M 的坐标，由 MN2ON 得出 k 的值，从而得出点 P 的坐标 【详解】 （1）由题意可知解得， 所以椭圆 的标准方程为 （2）法 1：设（） 当时，点坐标为， 点坐标为，
