2017年第三届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准

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1、 2017年第三届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准 1.已知一数列的前3项依次为2，4，16。根据你的观察，请写出数列的第4项，并写出你 的判断理由（至少要写出三种可能的结果）。 参考答案： （1）128；规律为，其2的次幂依次多1，多2，多3等等；1282 ,2 ,2 , 2 742 （2）256；规律为， 其2的次幂依次翻倍，依次为1，2,4,8，等等；2562 ,2 ,2 , 2 842 （3）96；规律为：后项依次为前项乘以2,4,6，8等等，其各项依次为2，22=4, 44=16,166=96,968=768，等等；2 （4）36；规律为：2=1+11，4=1+13, 16

2、=1+35,36=1+57，等等； （5）106；规律为：2=1+11，4=1+13, 16 =1+135, 36=1+1357，等 等 评分标准：本题为结论开放题，答案不唯一。 写出一个答案并说明规律给3分，写出四个答案并说明规律给满分。 2观察下列式子： ， 2 11167531 ， 2 20168642 ， 2 31169753 (1)根据你发现的规律写出接下来的一个等式： _；（2）你能用含自然数 n 的代数式写出一个一般 性的等式吗？ 21世纪教育网版权所有 答：_; 请根据你写出的一般等式计算： 2006200820102012+16=_. 参考答案 规律：等式左端是四个连续奇数或

3、连续偶数相乘；右端是一个完全平方数，其基数是中间 两数相乘减4，或者两端两数相乘加4，或者中间两数的算术平均的平方减5.答案为 (1), 222 445-71610864）（ (2) ，或 或 22 22 22 )46-(16)6-)(4-)(2-( ,)46(16)6)(4)(2( ,)5(16)3)(1)(1)(3( nnnnnn nnnnnn nnnnn 等2006200820102012+16=， 22 5-2009）（ 评分标准：第一问占4分；第二问第一式占4分，第二式占2分。 3. 本题分两部分，每部分5分。 （1）2008年冬季湖南省遭受雪灾，在其境内一段笔直的高速公路上依次停着

4、100辆受阻 的汽车，救援部队要设置一个临时食品供应站P，使这100辆汽车到供应站P的距离总和最 小，供应站P应设在何处？（写出解答过程）21cnjy （2）利用上述问的解题规律计算式子： 的最小值？（写出解答过程）|20|19|.|3|2| 1|xxxxx 参考答案：（1）通过2辆车、3辆车、4辆车试验可以发现： 当车辆为偶数n时，P应设在第辆与辆之间的任何地方都行，此时，这n辆车到供应 2 n 1 2 n 站P的距离总和最小；当车辆为奇数n时，P应设在正中间的第辆车处，此时，这n辆 2 1n 车到供应站P的距离总和最小故当车辆数为100时，P应设在50至51之间任何地方都行。 （2）可以看

5、成x所对应的点到1至20这|20|19|.|3|2| 1|xxxxx 20个点的距离之和。所以当10x11时，比如x=10.5， 取最小值为|20|19|.|3|2| 1|xxxxx 9.5+8.5+7.5+.+0.5+0.5+1.5+.+7.5+8.5+9.5=100 评分标准： 第一问占5分,从特殊到一般，说出结论，简单解释即可； 第二问占5分，能够正确联想到第一个问题可得3分，得出结果得2分。 4. 将数字-2、-3、-5、8、9、11书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子。 分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，问柱体A和柱体B的表面 （不含底面）点数之和分

6、别是多少？说明你的理由。21教育网 参考答案： 要点是通过局部信息、片段信息发现整体信息，关键要找出每个数的对面是什么数，依据 是 排除其相邻的数字，再综合使用其他信息。观察图A 和B 所示的两个柱体可知： (1)因为与数字2相邻的四个面上的数字分别是3、5、8、9。所以数字2对面上的数字是11 (2)因为与数字8相邻的四个面上的数字分别是3、2、11、9。所以数字8对面上的数字是 5。 根据（1）、（2）可知：3对面的数字是9。 所以，A 柱体表面（不含底面）点数之和 =（-3+8-5+11-2）+（-2+9-3+11）+（8-5+11-2）=36， B柱体表面（不含底面）点数之和 =（-2

7、+8+9-3-5）+（11-3-2+9）+（8-3-5+9）=31， 评分标准：思路正确得4分；两个结论正确各得3分。 5. 在一张正五边形的纸片内有2007个点，加上5个顶点共有2012个点。 （1）如果这些点中任意3个点都不在同一条直线上，现在以这2007个点为顶点，把纸片剪 开，最多剪出_个三角形（任意两个三角形没有重叠），写出推算过程； （2）如果这2012个点中，有三个或三个以上的点共线，你能确定最多剪出的三角形个数 吗？说明你的结论和理由。【出处：21教育名师】 参考答案：（1）4017；（2）可以确定，结论不变。 如图，从简单的数字入手寻找规律， 当正五边形内有2个点时，可以剪出

8、7个三角形； 当正五边形内有3个点时，可以剪出9个三角形； 当正五边形内有4个点时，可以剪出11个三角形； 当正五边形内有n个点时，可以剪出（3+2n）个三角形； 当n=2007时，可以剪出4017个三角形。 原因是：任意3个点都不在同一条直线上，这说明，每增加一个点，这个点必落在某一个 三角内，这样原来的1个三角形就可以一分为三，多出两个。 （2）如果这2012个点中，有三个或三个以上的点共线，仍然可以剪出4017个三角形。原 因是，每增加一个点，这个点或者落在某一个三角内，或者落在某一个三角的边上，前者 当然增加两个三角形，而后者会将共用该边的两个三角形各拆分为2，仍然会增加两个三 角形，

9、因此结论不变。www-2-1-cnjy-com 评分标准：两小题各为5分。每小题答案正确得2分，说明理由得3分。 6.某场考试由10 道判断题构成，要求考生用画“”和画“”表示对各题的正误判断， 每题判断正确得10 分，判断错误不得分。请根据如下甲、乙、丙3 名考生的判断及得分 结果，算出考生丁的得分， 写出你的分析过程。 21*cnjy*com 丁得了_分. 参考答案：90 因为甲、乙共得140 分,所以甲、乙共错6 题.而甲、乙有6 道题的答案不一致,所以错的6 题就在这6 题中,两人答案一致的2,3,7,10 题都答对了.丙得60 分,错4 题.对照2,3,7,10 题 的正确答案,丙全

10、错了,所以丙的其余题都答对了.丁除了第3 题外都答对了,应得90 分. 评分标准： 通过甲乙的得分判断出甲的2、3、7、10题正确得4分；根据丙的得分并与甲乙对比，判断 出全部正确答案再得4分；给出丁的正确得分再得2分。【来源：21世纪教育网】 7.已知（其中都是介于0和9之间的整数），若小数点后连，. 0 7 1 321n aaaa,., 321 aaa 续n个数字之和写出你的理由。._,.2013. 321 naaaaa nn 则 参考答案：4484746; 8nan 因为，观察知：循环小数中的一个循环节中的6个数字之和是27.而 742851 . 0 7 1 2013=2774+15.

11、因为1+4+2+8=15，所以4484746; 8nan 评分标准：找到1/7的小数循环性得3分；算出每个循环节数字之和再得1分；想到用周期 性的思路，把2013分拆为74个周期多15得3分；据此得出正确答案再得3分。 8把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行，中间用 虚线围成一列，从上到下依次为1、5、13、25、，则在中间这列数中，第行的数是76， 写出推算过程。 参考答案：20 解决问题的突破口在于寻找这列数所蕴涵的内在规律，只有知道规律才可以写出所求的 数先观察分析这4个数之间的联系。为了探索的方便不妨记www.21-cn- 。我们发现：251351 4321

12、 、aaaa ，41 12 aa ，428 23 aa ,4312 34 aa 猜想： ，（n是正整数），于是以上各等式两边相加得：) 1(4 1 naa nn ) 1(2) 1.321 (4. 1342312 nnnaaaaaaaa nn 即：),1(21) 1(2),1(2 11 nnnnaannaa nn 依题意有：，0380,761) 1(21 2 nnnnan即 解这个方程得：n=20或n=-190舍去。 所以n=20，即在中间这列数中，第20行的数是761 评分标准：发现正确规律得5分；得到正确答案再得5分。 9.将下表的方格中的7个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上

13、的3个数字 之和都相等，则表中左上角的数字是多少？写出推算过程。21教育名师原创作品 2012 -2010 参考答案：1 如图所示，设图表中左上角的数字是x，相应的方格中的数字记为a 、b 、c 、d 。 xab c2012 -2010d 依题意有： x+a+b=x+c+d=a+c-2010=b+2012+d 于是2x+a+b+c+d=a+b+c+d+2012-2010 即2x=2，x=1. 评分标准：能够恰当应用问题给出的关系，列出正确式子得5分；得到正确答案再得5分。 10棱长为n厘米（n为正整数）的正方体，表面涂成红色。现在将该正方体分割成棱长为 1厘米的小正方体，将这些大小、形状相同的

14、小正方体放在一个箱子中，混合均匀，然后 从箱子中随机摸的一个小正方体。记摸出的小正方体表面有一面是红色的概率为，摸出 1 P 的小正方体表面有两面是红色的概率为，已知。 2 P 21 3PP （1）有多少块六面都没有涂上红色的小正方体？ （2）求随机摸到有3个面是红色的小正方体的概率是多少？ 参考答案：（1）216；（2）1/64 通过实验观察可知：小正方体一共有块；其中有一面是红色的只能分布在原正方体的6 3 n 个表面非边沿处，一共有个；有2面是红色的只能分布在原正方体的12条棱而不 2 16）（ n 在角的部分，一共有个，依题意有：，化简）（212n 21 3PP 3 )2(1226 3

15、3 2 n n n n）（ 得：n-2=6，n=8.于是， （1）四面都没有涂上红色的小正方体的个数=。)(21662 33 块）（n （2）小正方体一共有512块，其中有3个面是红色的只有8块，故随机摸到的小正方体有3 个面是红色的概率是。21世纪*教育网 64 1 512 8 评分标准：能够正确给出有一面红色、两面红色的小正方体数量得3分；通过题意解出n得 1分；算出四面都没有涂上红色的小正方体的个数得3分；算出概率再得3分。 11操作题 （1）如图1:在正方形ABCD内，与线段PQ长度相等且端点在正方形边上的线段有多少类？ 每类分别在图1样板图中画出一条线段作代表，并说明它的特点。 （2）如果一个正方形的四条边被擦去，只在每条边上留下了一个点（不在顶点，如图2）， 请你重新画出这个正方形，说明你的做法。 图1 图2 参考答案：（1）分如下两大类，八小类： 一、与线段PQ长度相等且端点在正方形的对边上的线段