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1、2018-2019 学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学 试卷（理科）试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.抛物线 y2=-8x 的准线方程为（ ） A. B. C. D. = 2 = 1 = 1 = 2 2.已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆 2 16 + 2 9 = 1 的另一个焦点在 BC 上，则ABC 的周长是（ ） A. 8B. C. 16D. 24 8 3 3.从标号分别为 1、2、3、4 的四个红球和标号分别为 1、2、3 的三个黑球及标号分 别为 1、2 的两个白
2、球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法种数共有（ ） A. 24 种B. 9 种C. 10 种D. 26 种 4.如果椭圆 + =1 的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 2 4 2 2 A. B. C. D. + 2 3 = 02 3 = 02 + 3 = 0 + 2 + 3 = 0 5.已知直线 l1：x+2ay-1=0，与 l2：（2a-1）x-ay-1=0 平行，则 a 的值是（ ） A. 0 或 1B. 1 或C. 0 或D. 1 4 1 4 1 4 6.过抛物线 x2=y 的焦点 F 的直线交抛物线于不同的两点 A、B，则的值为 1 | + 1 | （ ） A.
3、2B. 1C. D. 4 1 4 7.已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个交点，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. (0, 5 2) 1, 5 2 ( 5 2, 5 2) (1, 5 2) 8.直线 4x+3y+12=0 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，点 P 在圆（x-2）2+y2=4 上， 则ABP 面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10,3010,155,155,10 第 2 页，共 20 页 9.正ABC 中，AC、BC 边上的高分别为 BD、AE，则以 A、B 为焦点，且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（
4、） A. B. 1C. D. 2 32 3 10. 已知椭圆 +x2=1 与抛物线 x2=ay 有相同的焦点 F，O 为原点，点 P 是抛物线准线 2 5 上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 134 23 134 6 11. 已知 a，b（-1，0，1，2），关于 x 的方程 ax2+2x+b=0=0 有实数解的有序实数对 （a，b）的个数为（ ） A. 12B. 13C. 11D. 14 12. 已知直线 l 与椭圆相切于第一象限的点 P（x0，y0），且 ：2+ 2 2 = 1(01) 直线 l 与 x 轴、y 轴
5、分别交于点 A、B，当AOB（O 为坐标原点）的面积最小时， （F1、F2是椭圆的两个焦点），则此时F1PF2中F1PF2的平分线的 12= 3 长度为（ ） A. B. C. D. 2 3 5 4 3 5 2 3 15 4 3 15 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知实数 x、y 满足，若 z=2x+3y，则 z 的最大值是_ 1 2 0 2 + 2 ? 14. 与双曲线有相同的渐近线，并且过点（2，3）的双曲线的标准方程是 2 2 2= 1 _ 15. 若直线 y=x+b 与曲线 y=3-有公共点，则 b 的取值范围是_ 4 2 16. 已知双曲线的左、右顶点
6、分别为 A、B，M 是 E 上一点， ： 2 2 2 2 = 1(0，0) ABM 为等腰三角形，且外接圆面积为 4a2，则双曲线 E 的离心率为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知 A（-2，0），P（1，3），直线 x+2y=5 交 x 轴于点 B （1）求过点 B 且与直线 AP 垂直的直线方程； （2）经过点 P 的直线 l 把PAB 的面积分割成 3：4 两部分，求直线 l 的方程 18. 已知圆 C 过点 P（2，1），圆心为 C（5，-3） （1）求圆 C 的标准方程； （2）如果过点 A（O，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 没有公共点，求
7、实数 k 的取 值范围 19. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆 C1 1： 2 2 + 2 2 = 1(0) 2 ： 2 2 3 = 1 的顶点是双曲线 C2的焦点 （1）求椭圆 C1的离心率； （2）若 A、B 分别是椭圆 C1的左、右顶点，P 为椭圆 C1上异于 A、B 的一点 求证：直线 PA 和直线 PB 的斜率之积为定值 20. 已知抛物线 C 的顶点是坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴正半轴上，直线 4x+4y+1=0 与 抛物线 C 相切 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）点 M（0，m）在 y 轴负半轴上，若存在经过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，
8、使得AMB 是钝角，求实数 m 的取值范围 第 4 页，共 20 页 21. 已知椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆 C 的一个短轴 ： 2 + 2 1 = 1(1) 顶点，PF1F2=60 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若经过椭圆 C 左焦点的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，Q 为椭圆 C 的右顶点， 求ABQ 面积的最大值 22. 已知动点 P 到点 F（1，0）与到直线 x=2 的距离比为 2 2 （1）求动点 P 的轨迹方程； （2）设动点 P 的轨迹为 C，直线 l：y=kx-1（k0）关于直线 y=x-1 对称的直线为 l1，直线 l、l1与轨迹 C 分别
9、交于点 A、M 和 A、N，记直线 l1的斜率为 k1： 求证 kk1为定值； 当 k 变化时，试问直线 MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若 不恒过定点，请说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】 【分析】 抛物线 y2=-8x 的开口向左，2p=8，从而可得抛物线 y2=-8x 的准线方程 本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题 【解答】 解：抛物线 y2=-8x 的开口向左，2p=8， 抛物线 y2=-8x 的准线方程为 x=2 故选：D 2.【答案】C 【解析】 解：ABC 的顶点 B，C 在椭圆上， 顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一
10、个焦点在 BC 上， 由椭圆的定义可得：ABC 的周长是 4a=44=16 故选：C 利用椭圆的定义转化求解即可 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 3.【答案】D 【解析】 解：红球和黑球中各取一个，共有 43=12 种， 红球和白球中各取一个，共有 42=8 种， 白球和黑球中各取一个，共有 23=6 种， 根据分类计数原理，共有 12+8+6=26 中， 故选：D 第 6 页，共 20 页 根据分类计数原理即可求出 本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题 4.【答案】A 【解析】 解：设过点 A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2）， 由中点
11、坐标公式可知：， 则，两式相减得：+=0， =-， 直线 EF 的斜率 k=-， 直线 EF 的方程为：y-1=-（x-1），整理得：2y+x-3=0， 故选：A 由题意可知：将 E，F 代入椭圆方程，由中点坐标公式，做差求得 直线 EF 的斜率公式，由直线的点斜式方程，即可求得条弦所在的直线方程 本题考查直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题 5.【答案】C 【解析】 解：当 a=0 时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是 x=1，x=-1，显然两直线是平行的 当 a0 时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由，解得：a= 综上，a=0 或， 故选：C 先检验当
12、 a=0 时，是否满足两直线平行，当 a0 时，两直线的斜率都存在，由 ，解得 a 的值 本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要 进行检验 6.【答案】D 【解析】 解：设过抛物线 x2=y 的焦点 F 的直线方程为 y=kx+ 由， ， 则= 故选：D 由抛物线 x2=y 与过其焦点 F（0，）的直线方程联立，消去 y 整理成关于 x 的一元二次方程，设出 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义 得出|AF|=y1+，|BF|=y2+，由韦达定理可以求得答案 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想， 属中档题 7
13、.【答案】D 【解析】 解：双曲线的渐近线方程为 y=x， 当-1k1 时，直线与双曲线的右支只有 1 个交点， 当 k-1 时，直线与双曲线右支没有交点， 把 y=kx-1 代入 x2-y2=4 得：（1-k2）x+2kx-5=0， 第 8 页，共 20 页 令=4k2+20（1-k2）=0，解得 k=或 k=-（舍） 1k 故选：D 根据双曲线的渐近线和切线的方程得出 k 的范围 本题考查了双曲线的性质，切线方程的求解，属于中档题 8.【答案】C 【解析】 解：直线 4x+3y+12=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点， A（-3，0），B（0，-4）， AB=5 如图，圆心（2
14、，0）到直线 4x+3y+12=0 的距离 d= 点 P 到 AB 的距离 h，4-2h4+2，则 S=， 则ABP 面积的取值范围是5，15 故选：C 求出 A，B 坐标，圆心（2，0）到直线 4x+3y+12=0 的距离 d=可 得点 P 到 AB 的距离 h，利用 S=即可求解 本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公 式，是中档题 9.【答案】A 【解析】 解：设椭圆长、短半轴分别为 a，b，双曲线的实、虚轴分别为 mn， 设正ABC 的边长为 2，则 2a=+1，2m=， 以 A、B 为焦点，且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为， 故选：A 设椭圆长、
15、短半轴分别为 a，b，双曲线的实、虚轴分别为 mn， 设正ABC 的边长为 2，则 2a=+1，2m=，可得椭圆与双曲线的离 心率分别为，即可求解 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，及离心率的定义，考查学生的计算能力， 属于基础题 10.【答案】A 【解析】 解：椭圆+x2=1，c2=5-1=4，即 c=2，则椭 圆的焦点为（0，2）， 不妨取焦点（0，2）， 抛物线 x2=ay=4（）y， 抛物线的焦点坐标为（0，）， 椭圆+x2=1 与抛物线 x2=ay 有相同的焦 点 F， =2，即 a=8，则抛物线方程为 x2=8y，准线方程为 y=-2， |AF|=4，由抛物线的定义得， A 到准线的距离为 4，y+2=4， 第 10 页，共 20 页 即 A 点的纵坐标 y=2， 又点 A 在抛物线上， x=4，不妨取点 A 的坐标 A（4，2）； A 关于准线的对称点的坐标为 B（4，-6） 则|PA|+|PO|=|PB|+|PO|OB|， 即 O，P，B 三点共线时，有最小值， 最小值为|AB
