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1、第6课时二次函数的综合应用命题点 1 二次函数实际应用1. (2018巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是()A. 此抛物线的解析式是yx23.5B. 篮圈中心的坐标是(4，3.05)C.此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)D.篮球出手时离地面的高度是2 m 第1题图2. (2018安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均
2、每盆利润是19元，调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变；小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)(1)用含x的代数式表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？3. (2018巴彦淖尔改编)工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，如图所示，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)(1)若长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少
3、？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？ 第3题图命题点 2 二次函数与几何图形综合题4. (2018自贡)如图，抛物线yax2bx3过点A(1，0)，B(3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为2，点P(m，n)是线段AD上的动点(1)求直线AD及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，
4、使以P、Q、D、R四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由 第4题图5. (2018怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 6. (2018锦州)在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函
5、数yx2bxc的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上(1)求二次函数的表达式；(2)如图，连接DC，DB，设BCD的面积为S，求S的最大值；(3)如图，过点D作DMBC于点M，是否存在点D，使得CDM中的某个角恰好等于ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由 第6题图7. (2018十堰)已知抛物线yx2bxc经过点A(2，0)，B(0，4)，与x轴交于另一点C，连接BC.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且SPBOSPBC，求证：APBC；(3)在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E,
6、使ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 答案1. A2. (1)W12x260x8000，W219x950; (2)当x10时，总利润W最大，最大总利润是9160元3. (1)裁掉的正方形边长为2分米；(2)当裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低为31元4. (1)直线AD的解析式为yx1，抛物线的解析式为yx22x3；(2)P(m，n)在线段AD上，点P的坐标为(m，m1)，点Q的坐标为(m，m22m3)，lm1(m22m3)m2m2(m)2(2m1)，10，当m时，l有最大值，最大值为 ；(3)存在，点R的
7、坐标为(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1)5. (1)抛物线的解析式为yx22x3，直线AC的解析式为y3x3；(2)yx22x3(x1)24，顶点D(1，4)，点D关于y轴的对称点E的坐标为(1，4)，如解图，连接BE与y轴交于点M，此时BDM的周长最小，设直线BE的解析式为ymxn(m0)，将点B(3，0)，E(1，4)代入得，解得，直线BE的解析式为yx3，当x0时，y3，点M的坐标为(0，3)，此时点M与点C重合；第5题解图(3)在抛物线上存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形如解图，当点A为直角顶点时，设直线AP与y轴的交
8、点为Q，则AOQCAQ90，AQOOAQAQCACQ，QAOACO，AOQCOA，即，OQ，Q(0，)，易求得直线AQ的解析式为yx，联立，解得(与点A重合，舍去)，点P的坐标为(，)； 第5题解图 第5题解图如解图，当点C为直角顶点时，过点P作PKy轴于点K，PCKACOACOCAO，PCKCAO，又PKCCOA，PCKCAO，设P(t，t22t3)，则PKt，CK3(t22t3)t22t，解得t10(为点C的横坐标，舍去)或t2，点P的坐标为(，)；综上，在抛物线上存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形，点P的坐标为(，)或(，)6. (1)二次函数的表达式为y
9、x2x2；(2)S的最大值为4；(3)存在，满足条件的点D的横坐标为2或.7. (1)抛物线的解析式为yx2x4；(2)证明：令y0，则x2x40，解得x12，x24，C(4，0)，设P(x，x2x4)，则SPBOOBxP4x2x，S四边形POBC SBOC SPOCOBOCOCyP444(x2x4)8x22x8x22x，SPBO SPBC，S四边形POBC 2SPBO，x22x4x，解得x10(舍去)，x26，P(6，8)，如解图，过P作PMx轴于点M，则OM6，PM8，AM8，tanPAC1，tanBCO1，PACBCO45，APBC；第7题解图(3)存在由题意易得，当ABE与以A，B，C
10、，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：ABC和BCE.由勾股定理得AB2，当点E在线段AC上时，BAEBAC，ABEABC，ABEACB45，ABEACB，则，AE，E(，0)，直线BE的解析式为y3x4，联立，解得或(舍去)，D1(8，20)；当点E在点A的左边时，BEABEC，当ABEBCE时，ABEBCE，则，设OEa，则AEa2，BE，CEa4，解得a12，E(12，0)，直线BE的解析式为yx4.联立，解得或(舍去)，D2(，)；当点E在点C的右边时，BCE为钝角三角形，ABE为锐角三角形，故不可能相似，当ABEACB时，点E的坐标为(，0)，不符合题意，综上所述，点D的坐标为(8，20)或(，)
