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1、第八章 系统抽样,第一节 概述 第二节 等概率系统抽样估计量 第三节 不同特征总体的系统抽样 第四节 系统抽样的方差估计,第一节 概述,一、系统抽样的定义 二、系统抽样的实施方法 三、排序标志 四、系统抽样的特点 五、系统抽样、整群抽样与分层抽样的关系,一、系统抽样的定义,系统抽样（Systematic sampling）：也称机械抽样，它是将总体中的单元按某种顺序排列，在规定的范围内随机抽取起始单元，然后按一套规则确定其它样本单元的一种抽样方法。 上述定义是广义的，事实上，总体单元的排列可以是一维的(直线或圆形的)，也可以是二维的(平面的)；起始单元可以是一个，也可以是一组；对总体单元的抽取
2、可以是等概的也可以是不等概的。,系统抽样中最简单的是等间隔抽取，这种系统抽样又称为等距抽样。 等距抽样的随机性是有限制的，因此也被称为伪随机抽样，但要注意：等距抽样并未真正丧失随机性原则。 例：工业产品质量检查，每隔2小时抽选一个或若干样品进行检验。,二、系统抽样的实施方法,（一）直线等距抽样 假设：总体N个单元按直线排列,样本容量为n, 且有N/n=k，k为整数，称为抽样间距(sampling interval)。 实施方法： 1.将总体分为n段，每段k个单元 2.在第一段的k个单元中随机抽取一个单元r 3.每隔k个单元抽出一个单元，共抽取n个单元，则被抽中的单元编号分别为： r, r+k,
3、 r+2k, r+(n-1)k 例见课本P142,方法评价： 当N/n=k为整数时，总体中每个单元的入样概率都相等(都等于1/k)，从而是一种严格的等概率抽样。 当N/n=k不是整数时，实际抽取到的样本单元数可能是N/k，也可能是N/k+1，也即与原来设定的样本量可能相差1。每个单元的入样概率也是不相等的。这时等距抽样有可能产生偏倚。,（二）循环等距抽样 为克服直线等距抽样的上述缺陷，拉希里(Lahiri)提出一种替代方法，称为循环(或圆形)等距抽样。 实施方法： 1.将总体排成首尾相连的圆形。 2.在1N范围内随机抽取整数r作为起始单元编号。 3.每隔间距k（k为最接近N/n的整数）抽取样本
4、单元。直到抽足n个单元为止。 评价：对于循环等距抽样，即使对于N/n不为整数的情况，不仅样本量不会随起始值而变化，且是严格等概率的。 例：见P143,注意：以下为了处理方便，我们假定N总是n的整数倍。在实际工作中，若n充分大，则由于N/n非整数而带来的影响就充分小，可以忽略不计。,（三）不等概系统抽样法 常用的不等概率系统抽样是PS系统抽样 令： 表示总体所有单元大小的总和， 则有入样概率为： 在实际中，实施不等概率抽样最简单的方法是代码法。,实施方法： 1.先将单元 Mi值累加,取最接近M0/n 的整数k为抽样间距。 2.从 1，k中随机抽取一个整数作为起始单元编号。 3.每间隔k抽取样本单
5、元，则代码 r, r+k, ,r+(n-1)k 所对应的单元即样本单元.,【例7.1】设总体由10个行政村组成,N=10,每个行政村的人数 Mi见下表,利用PS 系统抽样抽取 n = 3 个行政村,解:,在 1，623中随机抽取整数r，设r=100,则 r+k=723, r+2k=1346,则对应的行政村为1,4,8. 注: 对于特别大的单元一般直接作为样本,然后对剩余的单元组成的总体实施抽样.,三、排序标志,等距抽样需要有作为排序依据的辅助标志。 排序标志各式各样，可自由选择，但归纳起来，可分为两类，即无关标志和有关标志，它们对等距抽样的作用和相应的估计精度各有不同的影响。,(一)按无关标志
6、排队 (无序系统抽样),即各单元的排列顺序与所研究的内容无关. 如研究人口的收入状况时，按身份证号码、按门牌号码排序非常方便，一般说来，这些号码与调查项目没有关系，因此可以认为总体单元的次序排列是随机的 无关标志排序的等距抽样也称无序等距抽样。,评价： 在无关标志排序的条件下，各单元的位次排定，并不等于各单元的调查标志值也按同一次序排定，虽然是等距抽样，它与随机抽样在性质上并无不同. 故无关标志排序的等距抽样，实质上相同于简单随机抽样，二者只是抽样形式不同而已，完全无损于随机原则，它们在估计精度上也是一致的。,（二）按有关标志排序,即各单元的排列顺序与所研究的内容是有关的， 用来对总体单元规定
7、排列次序的辅助标志，与调查标志具有共同性质或密切关系。 这种排序标志，在我国抽样调查实践中有广泛应用，如农产量调查，以本年平均亩产为调查变量，以往年已知平均亩产作为排序标志。 利用这些辅助标志排序，有利于提高等距抽样的抽样效果。,（三）根据各单元原有的自然位置进行排序,例如：学生按学号抽样，入户调查根据街道门牌号按一定间隔抽取等。 这种自然状态的排列有时与调查标志有一定的联系，但又不完完一致，这主要是为了抽样方便。,四、系统抽样的特点,优点： 1.简便易行，容易确定样本单元 等距抽样简单明了，快速经济，操作灵活方便，使用面广，是单阶段抽样中变化最多的一种抽样技术。 在某些场合下甚至可以不用抽样
8、框。例如若要对公路旁的树木进行病虫害调查，确定每20棵数检查一棵，只要在初始被检树确定后，每隔20棵检查一棵即行，根本不需要在事先对公路旁的所有树木进行编号，或者不需要知道抽样框即所有树木的棵数。 在我国，等距抽样已成了最主要、最基本的抽样方式，一些大规模的抽样调查，如农产量抽样调查、城乡住户调查、人口抽样调查、产品质量抽样检查中都普遍采用了等距抽样。,2.样本单元在总体中分布比较均匀,有 利于提高估计精度. 将总体各单元按一定的顺序排列后再抽样，使得样本单元的分布更加均匀，因而样本也就更具代表性，比简单随机抽样更精确 。,缺点： 1.如果单元 的排列存在周期性的变化,而抽样者对此缺乏了解或缺
9、乏处理的经验,抽取出样本的代表性就可能很差可能很高。这时要慎重地选择K。 如：调查某航空公司每月班机旅客人数（淡季、旺季）k=12 2.系统抽样的方差估计较复杂,一般系统抽样没有设计意义下的无偏估计量,并且在很多实际应用中所采用的系统抽样都不是严格的概率抽样,这就给系统抽样方差的估计带来很大的困难.,五、系统抽样、整群抽样和分层抽样的关系,系统抽样可以看成是一种特殊的整群抽样，也可以看成是一种分层抽样。 为了看清其中的关系，我们以一般的等距抽样为例，将总体中的N（=nk）个单元按k个一组排成表，共有k行n列。 等距抽样，即将总体个单元排列成k行n 列的矩阵，在从k之间随机地产生一个随机数r,则
10、取第r行的全体单元作为样本,系统抽样的总体单元,如果将表的行看作群,实际上相当于将总体划分为 k群,系统抽样相当于从这 k个群中随机地抽出一个大小为n的群实行整群抽样,这是最简单的整群抽样. 因此,在讨论传统抽样的参数估计时,很多场合将引用整群抽样的一些现成结果.,系统抽样与整群抽样参数的对照,如果将表的列看作层,那么系统抽样又是一种分层抽样:在每层中抽取一个单元,不过这个单元在每个层中的位置是相同的,因此不是分层随机抽样.,系统抽样的总体单元按行列重新编号,第二节 等概率系统抽样估计量,一、符号说明 二、估计量 三、估计量方差的不同表示形式,一、符号说明,第r行第j列的单元指标值:Yrj Y
11、rj=Y(j-1)k+r ,r=1,2,k; j=1,2,n 总体单元数:N 样本单元数: n 系统样本平均数: 系统样本均值估计量:,层均值: , j=1,2,n 总体方差: 系统样本(群)内方差:,样本(群)内相关系数:,层内方差:,同一系统样本内对层均值离差的相关系数:,二、估计量,设起始值为r,则相应系统样本的平均数为： 总体均值 的估计量为:,性质1 当 N=nk 时,有 k 个可能样本: 是无偏估计量. 当 , 采用直线等距方法时, 是有偏的.但 N和n均比较大时,其偏倚不会很大,可以忽略不计.若采用循环等距抽样, 是无偏的.,三、估计量方差的不同表示形式,如前所述，如果总体单元是
12、按无关标志排列的，则其方差可按简单随机抽样去做。 若总体单元是按有关标志排列的，则此时的等距抽样可以看作是整群抽样或分层抽样的特例，因此，等距抽样估计量的方差可以比照整群抽样或分层抽样的方法构造，有几种表示方法。,为方便起见，假定 N= nk,因此系统样本的平 均数 是总体均值的无偏估计，它的方差按 定义为：,性质2 用样本(群)内方差 表示系统抽样估计量的方差:,式中：,为总体方差。,为系统样本（群）内方差,如果从总体中直接抽取样本量为n的简单随机样本，则总 体均值 的估计量 的方差为：,比较等距抽样方差和简单随机抽样方差：,可见：,性质3,系统抽样可看做一种特殊的整群抽样，系统抽样估计量的
13、方差 可以用群内相关系数 表示：,式中：,可见：系统样本（群）内正相关越大，也即系统样本内单元越相似，差别越小，则估计量的方差越大，这个结论与上面结论一致。,性质4,系统抽样可看做一种特殊的分层抽样,系统抽样的估计量的方差可以用层内方差 和同一等距样本内单元对层均值的相关系数 表示:,式中：,为层内方差,恰为比例分配分层随机抽样的方差,为第j层的平均值,为同一系统样本内对层均值离差的相关系数.,比较系统抽样方差 和比例分配的分层随机抽样方差 ,可见：,【例7.2】,设某个总体N=32个单元,总体单元排列显然有稳定上升的趋势.我们要产生一个样本量为4的等距样本,将总体单元排列如下表,k=8,n=
14、4,每一列都是一个等距样本,共8个等距样本.,N=32,k=8,n=4等距样本数据,显然，层内具有正相关，由性质4可知，系统抽样的精度低 于分层随机抽样。,层内方差与总方差分别为:,因此：,本例中，分层随机抽样和等距抽样比简单随机抽样更有效， 而分层随机抽样比等距抽样更有效。 实际上，将总体单元按大小顺序排列的目的就是为了增大 系统样本内方差，从而必然提高精度。,【例7.3】,利用例7.2的数据,但将第二层和第四层的观测值次序颠倒,数据如下:,此时，等距抽样均值估计的方差为：,而分层随机抽样和简单随机抽样均值估计的方差不变：,可见：本例中，改变数据顺序后，等距抽样比简单随机抽 样和分层随机抽样
15、更有效。,上述例子说明： 相对于分层随机抽样和简单随机抽样来说，系统抽样的效率很大程度上取决于总体性质。 即使是相同的总体数据，对于不同的单元排列顺序，就有不同的样本(群)内方差和相关系数，从面系统抽样估计量的方差也不同。 因此，要有效地应用系统抽样，必须先了解总体的特征。,第三节 不同特征总体的系统抽样,一.随机次序排列的总体 总体单元按无关标志排列，如居民家计调查按居民姓氏次序排列的总体单位。,对于一个有限总体,简单随机抽样的方差是确定的,系统抽样的方差则取决于单元的排列顺序. 对于特定的排列，系统抽样的方差可能比相应的简单随机抽样的方差大，也可能比它小。N个总体单元总共有N！种不同的排列
16、，从而有N！个系统抽样的方差。 但可以证明这N！个系统抽样方差的平均数恰好等于简单随机抽样的方差。 在这个意义下，我们说当总体单元按随机顺序排列时，系统抽样的效果等价于简单随机抽样。,当总体单元按无关标志排列时,可以采用简单随机抽样的方差作为系统抽样的方差估计:,二. 线性趋势的总体 (一)线性趋势的总体 当总体按指标值从小到大顺序列时，由于样本(群)内方差增加而使系统抽样的精度有显著的提高。 在实际问题中，当然不可能按指标值的大小 排列，但是常可以找到某个与指标值相关的奕量，若单元按这个变量大小排列，则可收到同样的效果。,假定单元指标Yi值是单元序号 i的线性函数,即Yi=a+bi(i=1,2,N),现比较,当Y i=i时,有,总体均值 总体方差,二. 对线性趋势总体的系统抽样法的改进,针对实践中经常出现的线性趋势总体，有必要对系统抽样进行改进，从而提高系统抽样的
