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1、棱锥的体积,复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体Sh 3、柱体体积公式的推导,柱体体积公式的推导：,等底面积等高的几个柱体被平行于平面的平面所截截面面积始终相等,体积相等,V长方体abc,V柱体Sh,问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,h1,S1,h1,S2,h,S,h,S,取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h,平行于平面的任一平面去截,截面面积始终相等,两个锥体体积相等,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。,把这两个锥体 放在
2、同一个平面上，这是它们的顶点都在和平面平行的同一个平 面内，,用平行于平面的任一平面去截它们，,截面分别与底面相似，,设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1S,根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。,=,先割后补,先补后割,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,C1,B1,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,C1,B1,把三棱锥1以 ABC为底面、 AA1为侧棱补成 一个三棱柱。,猜测三棱锥的体积公式:,连接B1C,然后 把这个三棱柱 分割成三个三 棱锥。,就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。,猜测三棱锥的体积公式:,就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。,猜测三棱锥的体积公式:,
3、V1V2V3 V三棱柱,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh,猜测:n棱锥的体积公式： Vn棱锥= Vn棱柱,任意锥体的体积公式：,定理三：如果一个锥体的底面积是S， 高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh,小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h， 那么它的体积是 V三棱锥 Sh 定理三：如果一个锥体的底面积是S,高是h， 那么它的体积是 V锥体 Sh,例1.如图是一石柱, 石柱顶上部是一个正四 棱锥,下部是一个正四棱柱. 已知正四 棱柱底面边长0.5米, 高1米, 正四棱锥 的高是0.3米.石料比重d为每一立
4、方米 2400千克. 求这个石柱的重量.,解:,V棱锥=,V棱柱=,所以石柱的重量 P=(V棱柱+V棱锥)d=660(千克).,例2.在三棱锥V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10， 三个侧面与底面所成的二面角均为60o, VO平面ABC, 交平面ABC于O.,B,A,C,V,E,O,F,D,(2) 求 三棱锥的高.,(3) 求 三棱锥的体积.,(1) 求证： O是 ABC的内心.,OD为VD在平面ABC内的射影, 根据三垂线定理, 得VDAB.于是VDO为侧面VAB与底面所成二面角的平面角. VDO=VEO=VFO=60o.,C,V,解:（1）连结CO并延长交AB于D, 过O在平面A
5、BC 内分别作AC、BC的垂线, F、E为垂足. 连结VD、VF、VE.,A,E,O,F,D,B,RETURN,因为VO平面ABC,CD AB,显然 OD =OE =OF = VOctg60o, 即点O到 ABC三边距离相等. 因此 O是ABC的内心.,C,V,E,O,F,D,A,B,例3. 已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面 角为120o, 底面边长a, 求它的高、体积.,A,B,C,D,S,E,O,解：连结AC、BD交于O，连结SO， 则SO为正四棱锥的高. 过B作BESC, E为垂足.连结DE, 则DEB为二面角D-SC-EB的平面角, 所以DEB=120o.,A,S,B,C,D,E,O,
6、连结OE,例4.如图三棱锥V-ABC中, D为BC上一点,E为 AV上一点, BCED, BCAV, ED AV, 已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. 求:三棱锥的体积.,V,A,B,C,D,E,NEXT,RETURN,解：,RETURN,例5、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1B1上的点,E、F在棱AB上,H在C1D1上. (1).若点G在A1B1上滑动, H在C1D1上滑动,线段EF在AB上滑动,则VH-EFG的值有何变化? (2).若点G滑动到B1,E、F滑动到A、B点,H滑动到D1点,则VH-EFG体积为多少?,G,H,E,F,例6：已知：三棱锥A-BC
7、D的侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos, SAB C ADcos, BC AEcos AD,V三棱锥 SB CD AD, BC DE AD,例6：已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos,问题1、ADcos有什么几何意义？,F,结论： V三棱锥 SAB C DF,例6、已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos,结论： V三棱锥VC-AEDVB-AED,问题2、解答过程中的 BC AEcos A
8、D其中 AEcos AD可表示什么意思？,AEcosED,又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。,分析：,练习1：,将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）,问题1、你能有几种 解法？,问题2、如果这是一 个平行六面 体呢？或者 四棱柱呢？,练习2:,从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得 到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体 积的几分之几？,问题2、如果改为求 棱长为a的正四面 体A-BCD的体积。 你能有几种解法？,问题1、你能有几种 解法？,解一、补形，将三
9、棱 锥补成一个正方体。,解二、利用体积公式 V四面体 SBCDh,解三、将四面体分割为 三棱锥C-ABE和三棱 锥D-ABE,E,小结：,1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。,2、三棱锥体积的证明分两步进行： 、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等： （一个锥体的体积计算可以间接求得） 、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一： （它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）,3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，
10、占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。,小结： 4、定理及推论 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh 定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥 r2h,作业： 1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为 1，且OC与平面ABC所成的角的余弦值为， 求此四面体的体积。 2、三棱锥P-ABC中，已知PABC，PABCa， PA,BC的公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC 上)，且EFh，求三棱锥的体积。,
