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1、2019高考立体几何题型与方法全归纳题型一 基本平行与垂直的证明1、如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，
2、 D是AB的中点，E是BC1的中点， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1.点评：转化转化2平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理2、如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形，（4分） （2）由（1）知为平行四边形，
3、又 同理， 为矩形 ，又 作故交于，在矩形内， 为的中点当点为的中点时，3.(本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.()求证：；()若，M为线段AE的中点，求证：平面.【答案】(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知 ，又已知，所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.(II)取AB中点N，连接，M是AE的中点，是等边三角形，.由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即，所以NDBC，所以平面MND平面BEC，故DM平面BEC.4、如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.求证:(1)平面平面;(2)直线平面.【答案】证明:(1
4、)是直三棱柱,平面. 又平面,. 又平面,平面. 又平面,平面平面. (2),为的中点,. 又平面,且平面,. 又平面,平面. 由(1)知,平面,. 又平面平面,直线平面 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系. 【解析】(1)要证平面平面,只要证平面上的平面即可.它可由已知是直三棱柱和证得. (2) 要证直线平面,只要证平面上的即可.题型二 求空间图形中距离与体积5.如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，OAB，,，都是正三角形。（）证明直线；（II）求棱锥FOBED的体积。（I）（综合法）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于OAB与ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=
5、2，同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是边长为2的正三角形，故所以过点F作FQAD，交AD于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ=，所以6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA（I）求证：CD=C1D：（）求点C到平面B1DP的距离解析
6、：（1）连接交于,又为的中点，中点，,D为的中点。（2）因为，所以,在中，7. 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）证明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】【解析】（）因为又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，
7、从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积在等腰三角形中，所以故四棱锥的体积为.8.如图5所示，在四棱锥中，平面，是的中点，是上的点且，为中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.【解析】（1）证明：因为平面，所以。因为为中边上的高，所以。 因为， 所以平面。（2）连结，取中点，连结。 因为是的中点， 所以。 因为平面，所以平面。则， 。（3）证明：取中点，连结，。 因为是的中点，所以。因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。因为， 所以。因为平面， 所以。 因为，所以平面，所以平面。9.直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，=（）证明;（）已知
8、AB=2，BC=，求三棱锥的体积【解析】（）如图，连结, 是直三棱柱，=，来源:， 平面,故 又，四边形是正方形， ，又， 平面，故 （）， 由（）知，平面， S=10.如图，直三棱柱，AA=1，点M，N分别为和的中点。 ()证明：平面; ()求三棱锥的体积。（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。【解析】（1）（法一）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面 平面，因此 6分（法二）取的中点为P，连结MP，NP，分别为和的中
9、点， MP,NP,MP面,NP面, , 面MPN面，MN面， MN面.()（解法一）连结BN，由题意,面面=,面NBC， =1, .(解法2) 【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。11.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点()证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
10、CBADC1A1【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（）由题设知BC,BCAC，,面, 又面，,由题设知,=,即,又, 面, 面，面面；（）设棱锥的体积为，=1，由题意得，=，由三棱柱的体积=1，=1:1， 平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.题型三 、立体几何中的三视图问题CA B C1A1 B1D12已知某几何体的直观图与它的三视图，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知是这个几何体的棱上的中点。_3_3（1）求出该几何体的体积；（2）求证：直线；（3）求证:平面._1_2_1_1_2_
11、1主视图侧视图俯视图13. 已知四棱锥的三视图如下图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱上的动点（1）求证：（2）若五点在同一球面上，求该球的体积.ABCDPE主视图1左视图2俯视图视图14一个三棱柱直观图和三视图如图所示，设、分别为和的中点（）求几何体的体积；（）证明：平面；（）证明：平面平面.考点四。 探索性（动点）问题15、如图1,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将折起,使(如图2所示). DABCACDB图2图1ME.()当的长为多少时,三棱锥的体积最大;()当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在棱上确定一点,使得
12、.考点分析:本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值,用均值不等式和导数均可求最值.同时考察直线与平面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些. 解析: ()解法1:在如图1所示的中,设,则. 由,知,为等腰直角三角形,所以. 由折起前知,折起后(如图2),且, 所以平面.又,所以.于是 , 当且仅当,即时,等号成立, 故当,即时, 三棱锥的体积最大. 解法2: 同解法1,得. CADB图aEMxyz图bCADBEFMN 图cBDPCFNEBGMNEH图dN 令,由,且,解得. 当时,;当时,. 所以当时,取得最大值. 故当时, 三棱锥的体积最大. () 解法2:由()知,当三棱锥的体积最大时,. 如图b,取的中点,连结,则. 由()知平面,所以平面. 如图c,延长至P点使得,连,则四边形为
