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1、专题（一）空间几何体的外接球和内切球一、典例探究类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）. 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出.例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）.A B C D解：，选C.变式1、若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .解：，.变式2、在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 .解：引理：正三棱锥的对棱互垂直.如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，平面，同理：，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，
2、 ，平面，平面，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，即，正三棱锥外接球的表面积是.变式3、在四面体中，则该四面体的外接球的表面积为（ ）. 解：在中，的外接球直径为，选D.变式4、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、，那么它的外接球的表面积是 .解：三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则，.变式5、已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为 .解：，.类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）模型1：如图5，平面.解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，
3、所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：；.模型2：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出.方法二：小圆直径参与构造大圆.例2、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）.A B C D以上都不对解：选C，, ,.类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）模型1：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径）第一步
4、：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；第二步：在中，可根据正弦定理，求出. 模型2：如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）. .模型3：如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出. 模型4：如图9-4，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：.例3 、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表
5、面积为 .解：（1）由正弦定理或找球心都可得，变式1、正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 .解：方法一：找球心的位置，易知，故球心在正方形的中心处，.方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，.变式2、在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ）.A B. C. 4 D.解：选D，圆锥在以的圆上，.变式3、已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（ ）.A B C D解：，选A.类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 模型：如图10-1，图10
6、-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出.例4、一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，底面积为，球的体积为.变式1、直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 .解：，.变式2、已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，则多面体的外接球的表面积为 .解：折叠型，法一：
7、的外接圆半径为，；法二：，.变式3、在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为 .解：，.类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：.例5、三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .解：，；法二：，.类型六、对棱相等模型（补形为长方体）模型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的
8、长宽高分别为，列方程组，.补充：.第三步：根据墙角模型，求出，例如，正四面体的外接球半径可用此法.例6、棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .解：截面为，面积是；变式1、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）.A B C D 解：高，底面外接圆的半径为，直径为，设底面边长为，则，三棱锥的体积为.变式2、在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 .解：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，.变式3、如图所示三棱锥，其中则该
9、三棱锥外接球的表面积为 .解：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，.变式4、正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为 .解：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，.类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型模型：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7、在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）.A B C D解：，选C.变式、在矩形
10、中，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为 .解：的中点是球心，.类型八、锥体的内切球问题模型1：如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出.模型2：如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出.模型3：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径.方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半
11、径为，建立等式：.第三步：解出.二、课后巩固1若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的外接球半径为（ ）.A. B. C. D.解：，选A.2.三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球体积等于 .解：，外接球体积.3正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于 .解：外接圆的半径为 ，三棱锥的直径为，外接球半径，或，外接球体积.4三棱锥中，平面平面，边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .解：的外接圆是大圆，.5.三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的半径为 .解：，.6.三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的半径为 .解：是公共的斜边，的中点是球心，球半径为.14
