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1、,求旋转体的体积,第五节 定积分的应用,第八章,一 旋转体的体积,圆柱,圆锥,圆台,取积分变量为,x,o,在 上任取小区间,类似的当考虑连续曲线段 绕y 轴旋转一周所形成的立体体积为,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 由曲线,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求由曲线 , 直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.,解：选为积分变量，由旋转体的体积公式，得到,例3 求由曲线
2、 ，直线 及 轴所围成的图形分别绕 轴， 轴旋转一周所生成的旋转体的体积,x,x,y,y,解：绕 x 轴旋转体的体积,绕 y 轴旋转体的体积,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 旋转而成的立体体积 .,解: 绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,例3 计算摆线,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上连续,1应用平行截面函数求旋转体体积,并,与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,练习题,1.求 绕 轴和 轴旋转一周的旋转体的体积.,解：由公式有,例20. 求由星形线,一周所得的旋转体的体积.,解: 利用公式有,绕 x 轴旋转,星形线,星形线是内摆线的一种.,点击图片任意处 播放开始或暂停,大圆半径 Ra,小圆半径,参数的几何意义,(当小圆在圆内沿圆周滚动,时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线),
