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1、综合几何知识点梳理1、 倍长（类）中线如下图所示倍长中线或类中线（与中线有关的线段）构造全等三角形2、 角平分线翻折法已知P是MON平分线上一点，（1）若PAOM于点A，如图（a），可以作PBON于点B，则可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”（2）若点A是射线OM上任意一点，如图（b），可以在ON上截取，联结PB，构造可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”（3）若APOP于点P，如图（c），可以延长AP交ON于点B，构造AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”（4）若过P点作PQON交OM于点Q，如图（d），可以构造POQ是等腰三角形
2、可记为“角平分线加平行线，等腰三角形必呈现”3、 截长补短法证明一条线段等于两条线段和或差的基本方法是截长补短：（1）截长：通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等（2）补短：通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条长的线段相等延长短边；通过旋转等方式使两短边拼合到一起4、 中垂线联结法利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，考虑联结线段中垂线上的点与线段的两个端点5、 旋转的本质特征等线段，共顶点，就可以有旋转遇中点，旋180，构造中心对称；遇90，旋90，造垂直；遇60，旋60
3、，造等边；遇等腰，旋顶角典型例题分析例1、 如图，在ABC中，D为BC中点，ADAC，求证：【答案】：延长AD至点E使得，易证ACDEBD，得，例2、 如图，已知AD/BC，1=2，3=4，求证：【答案：在AB上取一点F，使，连接EF】例3、 以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，其中，联结DE，若M是BC的中点（1） 如图，当时，证明且AM所在直线与DE垂直；（2） 如图，若BAC是锐角时，第（1）题的结论是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由【答案】：（1）延长MA交DE于点H，可证ABCADE，AHDE（2）成立延长AM至点F，使得，联结BF，
4、延长MA交DE于点H易证AMCFMB，得，又，BAFADE，AHDE例4、 如图所示，点为线段上一点，、是等边三角形证明：平分【答案】：如图所示，过点分别作、的垂线，交、于点、.由、是等边三角形，可证，所以，（全等三角形面积一致）因为三角形面积公式为底高，所以可得，所以点在的角平分线上，即平分例5、 如图，AB与CD相交于点O，点E与点F分别是AB与CD的中点，且求证：.【答案】：联结DE、CE，点F是CD的中点，EF，例6、 如图，E、B、D、C四点共线，ADAE，求C的度数【答案】：延长CA至点F，使得，则，可证BAEFAE，得，例7、 如图，锐角ABC中，BAC的平分线交BC于点D，M、
5、N分别是AD和AB上的动点，则的最小值为_【答案】：利用对称性，的最小值为B到AC的垂线段长4例8、 在中，是的中点，过点作，与相交于点，与相交于点.（1） 如图，当点在线段上时，求证：；（2） 如果，那么线段与之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；（3） 如果是等腰三角形，求的度数.【答案】：（1）ACB=90，D是AB的中点DC=DADCA=ACBE=ADCA=CBE又BCE+CBE=90DCA+CBE=90BECD(2) BE=CD=BD，取BC中点G，则DG是中线，DG=AC，可以证得ECBDGB，则BC=DG=AC(3) 当E在边AC上时，BDF是等腰，BFD=90CDB=4
6、5DCA+A=CDB=45A=DCA=1/2CDB=22.5当E在CA延长线上的时，有3种情况，利用等边对等角以及三角形内角和180可以分别求得：当BD=BF时，A=45；当BF=DF时，A=67.5；当BD=DF时，A=90（舍去）例9、 已知：在RtABC中，在RtADE中，联结EC，取EC的中点M，联结和（1） 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图（a），探索BM、的关系并给予证明；（2） 如果将（a）中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图（b），那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明【答案】：课后练习练1 如图，ABC中，点E与
7、点F分别在BC与AC上，且EF垂直平分AC，点D在BA的延长线上，且，联结DF求证：【答案】：，可证，也可证ADFFEA，练2 如图，在ABC中，E为AC的中点，在图中作点D，使ADBE，且，在AD上取点F，使试判断线段EF与线段BD的关系，并证明【答案】：，可证BEODFO，得，再证EDOFOB，于是线段EF与线段BD相互垂直平分练3 已知ABC的周长为10cm，B、C平分线的交点到BC的距离为2cm，则_cm2【答案】：10练4 如图，cm，cm，则_cm【答案】：取CD中点M，联结AM，练5 已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延
8、长线）于E、F当MBN绕B点旋转到时（如图1），易证当MBN绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）【答案】：ABAD，BCCD，在ABE和CBF中，ABECBF（S.A.S）；，；，；，BEF为等边三角形；图2成立，证明：延长DC至点K，使，联结BK，在BAE和BCK中，BAEBCK，即，在KBF和EBF中，KBFEBF，即图3不成立，AE、CF、EF的关系是课后小测验1. 如图，已知ABC中，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E，cm，则DEB的周长为_cm【答案：】2. 如图，ABC中，三边上的高AD、BE、CF交于点H，P、Q分别为CH、AB的中点，求证：PQ是DE边上的垂直平分线【答案：联结DP、EP、DQ、EQ，易证，】3. 如图，ABC中，ABC的面积为2，过点A作ADAB交BC或BC延长线于点D，MN垂直平分BD，垂足为N，交AB于点M（1） 求证：；（2） 设，求y与x之间的函数解析式及定义域【答案：（1）联结DM，；（2）】
