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1、2017 年年“数学花园探秘数学花园探秘”科普活动科普活动 小中年级组决赛试卷小中年级组决赛试卷 A （测评时间：（测评时间：2017 年年 1 月月 1 日日 10:3011:30） 一填空题（每小题一填空题（每小题 8 分，共分，共 32 分）分） 1. 算式676734346734的计算结果是 【答案】3434 【解析】原式=67(67+1)-3434+34 =67234-3434+34 =10134 =3434 2. 在横式2017ABCABCD中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数 字若等式成立，那么 AB 代表的两位数是 【答案】14 【解析】 由于CD100， 因此
2、可估算1900ABC AB 2017， 若要0ABAB在此范围内， 可知AB 应 为14,（13013=1690，14014=1960，15015=2250） 考虑极端情况13913=18071900，因此 可得AB必为14进一步可得1457CD（），=3,=5CD 3. 右图中共有 个平行四边形 【答案】15 【解析】如图，红色小的平行四边形有4个，蓝色中等大小的平行四边形有8个（可看成由两个红 色的拼成的） ，黄色较大的平行四边形有3个（由两个蓝色的拼成的） ，共15个 学而思培优 4. 小兔与蜘蛛共50名学员参加踢踏舞训练营一段时间后，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了 一倍，但老师发现学
3、员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔 只 （注：蜘蛛有8 只脚） 【答案】40 【解析】每走一只小兔，总腿数少了4，每增加一只蜘蛛，总腿数多了8，因此要想总腿数不变，那 么减少的兔子数量，应该是增加的蜘蛛数量的两倍把走了的蜘蛛数量当做1份，那么原有蜘 蛛数量为1份， 走了的兔子数量为2份， 原有兔子数量为4份 则原有的动物共5份， 是50只， 1份有10只，那么原有兔子4 10=40只 二填空题（每小题二填空题（每小题 10 分，共分，共 40 分）分） 5. 一组由两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为100，若从第1项开始，将每个奇数 项与它后面相邻的偶数项不改变次序地合并成一个
4、四位数，形成一个新的数列，那么新数列的 和与原数列的和相差 【答案】9900 【解析】假设这个等差数列的奇数项分别为 1357 ,A A A A公差为d，那么整个等差数列可以表示 为 1 A， 1 Ad， 3 A， 3 Ad， 5 A， 5 Ad，将每个奇数项与后面相邻的偶数项合并，由于 每一项都是两位数数，所以 1 A与 1 Ad合并后的四位数可以表示为 11 100AAd，第二项为 33 100AAd，那么新的数列和减去原数列和应当为 135 999999AAA+，由 于所有奇数项的和为100，因此这个差=99100=9900 6. 最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6个面上分别有1到
5、6个点，其相对两面点数的和 都等于7 现在从空间一点看一个骰子， 能看到的所有点数之和最小是1， 最大是15（4+5+6=15） ， 那么在115中，不可能看到的点数和是 学而思培优 【答案】13 【解析】骰子上相对的两面点数分别为（1，6） ， （2，5） ， （3，4） 从空间任何一点看，可能只看到 骰子的1个面，也可能看到相邻的2个面，还可能看到相邻的3个面在115中，点数16 显然可以看到7=1+2+4，8=6+2，9=6+3，10=6+4，11=6+5，12=6+2+4，枚举可知13无法拆 出，14=6+5+4，15=6+5+4则只有13不可能被看到 7. 一排格子不到100个，一开
6、始仅有两端的格子内各放有一枚棋子几名同学依次轮流向格子中 放棋子，每人每次只放一枚且都必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第3格、 第7格中有棋子，第4、5、6格中没棋子，则可以在第5格中放一枚棋子；但如第4格、第7 格中有棋子，第5、6格没棋子，则第5、6格都不能放） 这几名同学每人都放了9次棋子，使 得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有 名同学 【答案】7 【解析】由题意可知，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，则无法再往其中放棋子，那么若想要 在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数第一轮只能在最中间放1 枚棋子，此时将格子分为了前半部分和后半部分，那么第二
7、轮在每一部分的中间，都可以放1 枚棋子，总共可以放2枚，此时将格子分成了4部分第三轮可以在每一部分中间再放1枚棋 子，总共可以放4枚以此类推，总共放下的棋子个数，应该为等比数列1,2,4,8的和， 而由于每人都放了9次，因此这个和还为9的倍数，且该和不能超过100，枚举可得 1+2+4+8+16+32=63满足条件，则共有639=7名同学 棋子分布依次为： 1， 65 1， 33， 65 1， 17， 33， 49， 65 1， 9， 17， 25， 33， 41， 49，57， 65 学而思培优 8. 蕾蕾买了一些山羊和绵羊如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元；如果她 少买2
8、只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元蕾蕾一共买了 只羊 【答案】10 【解析】假设蕾蕾买了x只羊，原平均价格为a元多买2只山羊，平均价格增加60元，说明总价 增加了602(60)xa元， 少买2只山羊， 平均价格减少了90元， 说明总价减少了902(90)xa 元，两次总价的变化都是两只山羊的价钱，应该相等，则602(60)xa=902(90)xa，解得 10x只 三 填空题（每小题三 填空题（每小题 12 分，共分，共 48 分）分） 9. 现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在2016年12月1日5日各值班3天，每天恰有3位安 保值班，每位安保值班安排5天一循环今天（2017年1月1日
9、周日） ，关于他们在上个月的 值班情况，5人进行了如下对话： A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多； B：我与其余4人在这个月都一起值过班； C：12月3日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙了，可惜不算值班； D：E每次都和我安排在一起； E：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了 那么， 安保A在12月份中第2次、 第6次、 第10次值班日期顺次排列组成的五位数是 （如A第2、6、10次值班分别在12月3、12、17日，则答案为31217） 【答案】41016 【解析】列12月值班表如下 12 月 1(四) 2（五） 3（六） 4（日） 5（一） A
10、B C D E 6（二） 7（三） 8（四） 9（五） 10（六） 11（日） 12（一） 13（二） 14（三） 15（四） 16（五） 17（六） 18（日） 19（一） 20（二） 21（三） 22（四） 23（五） 24（六） 25（日） 学而思培优 26（一） 27（二） 28（三） 29（四） 30（五） 31（六） 周末天数 2 1 2 2 2 （1）由E说的话可知，25日A和E都值班，又由D的话可知D，E永远在一起，那么可以判 断，5日这一竖列，值班人为A,D,E （2）由C的话可知，3日他不值班，由于每天必须有3人值班，所以D,E中必须有一个，又因 为D,E一起，所以3日这一
11、竖列，D,E都值班 （3）通过A的话判断，A,B在周末值班的日子比C,D,E多，统计出每一列中的周末数量，分别 为2,1,2,2,2每人都要在三列中值班，若要A,B比其他人多，那么1那一列必须是C,D,E值班 （4）每天都要有3人值班，DE现在已经排满，因此第1列，第4列为A,B,C值班 （5）还剩第3列没有排完，B要跟每个人都搭配过，因此此处为B 那么A的第二次值班在4日，第6次在10日，第10次在16日，五位数为41016 10. 下图中每个小正三角形的面积是12平方厘米，那么大正三角形的面积为 平方厘米 【答案】84 【解析】如图所示，补出右边的一些小等边三角形，则ABC被分为面积相等的
12、三个钝角三角形 AMB、BNC、APC，以及一个小正三角形PMN，其中AMB面积是所在的平行四边形 ADBM的一半，为1242=24平方厘米，那么ABC面积为324+12=84平方厘米 C B A D P N M C B A 学而思培优 11. 如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道开始时，一个警察和一个小偷 在两个不同房间中每一次警察从所在房间沿着地上通道转移到相邻的房间；同时小偷从所在 房间沿着地下通道转移到相邻的房间如果警察和小偷转移了3次都没有在任何房间相遇，那 么，他们有 种不同的走法 【答案】1476 【解析】考虑起始时，警察与小偷所在房间有三类关系：相邻（如1与2
13、） ，相隔（如1与3） ，相对 （如1与4） 分别考虑这三类的下一步可能情况 相邻：如1与2，那么下一步都顺时针走，可变为2与3，都逆时针走，变为6与1,一个顺时针 一个逆时针，变为2与1或6与3即有3种可能相邻，1种可能相对 相隔：如1与3，那么下一步可能变为2与4，6与2，6与4即有3种可能相隔 相对：如1与4，那么下一步可能变为2与3，6与5，6与3，2与5即有2种相邻的可能和2 种相对的可能 根据以上递推关系画树形图如下： 4相对相对 4相邻相邻 2相对相对 6相邻相邻 6相对相对 6相邻相邻 9相对相对 27相邻相邻 2相对相对 2相邻相邻 3相对相对 9相邻相邻 1相对相对 3相邻
14、 相邻 相邻 相邻 假设警察初始房间为1，小偷与其相邻可为2或6，那么3次之后不相遇的走法有2 （27+9+6+6+6+2+4+4）=264=128种 4 56 1 23 学而思培优 9相隔相隔27相隔相隔3相隔相隔相隔相隔 假设警察初始房间为1，小偷与其相隔可为3或5，那么3次之后不相遇的走法有227=54种 8相对相对 8相邻相邻 4相对相对 12相邻相邻 4相对相对 4相邻相邻 6相对相对 18相邻相邻 4相对相对 4相邻相邻 2相对相对 6相邻相邻 2相对相对 2相邻 相对 相邻 相对 假设警察初始房间为1，小偷与其相对只能为4，那么3次之后不相遇的走法有 18+6+4+4+12+4+8+8=64种 综上所述，警察若初始位置为1，满足题目条件的走法有128+54+64=246种，那么警察初始位置 还能选择26，因此共有2466=1476种走法 学而思培优
