动态杨氏模量的测量

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1、1动态法弹性模量测定实验讲义弹性模量包含扬氏模量（E）和切变模量（G） 。连同泊松比（）共称弹性系数。这三个系数由方程 =2G/E-1 所联系，故只要测出其中任意二个系数，第三个系数即能推出。弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算，防热和隔热层计算，选用构件材料的主要依据。精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。弹性模量测定方法共有三类：一、静态法（拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样、在大形变及常温下测定。该法载荷大，加载速度慢并伴有弛豫过程、对脆性材料（石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；二是波传播法（含连续波及脉冲波法） ，该法所用设备虽较

2、复杂，在室温下很好用，但因换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；三、动态法（又称共振法、声频法）：包括：弯曲（横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属（脆性材料）以及测定温度能在 1803000左右进行而为众多国家采用，美、日、我国均制定了国家标准，美国标准号为：ASTMC623-71，日本标准号为：JISA1127-1976，我国从 1979年至今已发布三个国家标准，分别是 GB1586-79、GB2105-80 和 GB/T 2105-91。本实验就是采用动态弯曲共振法测定弹性模量。一、实验目的及要求：

3、11：了解用动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；12：掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；13：掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；14：了解压电体、热电偶的功能、熟悉信号源及示波器和温控器的使用。15：培养综合使用知识和实验仪器的能力。二、实验原理：21：对一长度 直径 d条件下的细长棒，当其作微小横振动（又叫弯曲振动）时，其振l动方程为： （1）式中 Y为竖直方向位移，长棒的轴线方向为 X，E024tyEISx为试棒的扬氏模量、 为材料密度、S 为棒横截面、I 为其截面的惯性矩、 。用dsyI2分离变量法求方程（1）的解，令 （2）代入（1）tTxXty,有

4、 该等式两边分别是变量 x和 t的函数，这只有都等于一个241dtTEIdxX任意常数时才有可能、设为 K4，于是有 ； 044Kdx 042TSEIKdt2设棒中各点均作谐振动，这二个线性常微分方程的通解为：； KxBshKxBcxXsinco4321 tAtTcos由（2）横振动方程的通解为： 式中 )()incos(, 4321 KxBhty（3） 该式通称频率公式214SEI推论证明、该式对于任意形状截面，不同边界条件下都是成立的，故我们只要用特定的边界条件下定出常数 K，代入特定截面的惯性矩，就可得到具体条件下的计算公式。如将棒悬挂（或支撑）在节点（即处于共振状态时棒上位移恒等于零的

5、位置） ，此时，边界条件为二端横向作用力及力矩均为零，即： ； 及 即： 03xyEIMF 0.2xyEIM， ， ， ，03xdX03lxdX02xdX2lxdX将通解代入边界条件得到： 1coshKl可用数值解法求得本征值 K和棒长应满足： 0，4.730，7.583，10.966，14.137ln式中 的根对应于静止状态、故将第二个根作为第一个根记作 ，一般将 K1对应的0lK l1频率叫基频，此时棒上波形分布如图 1的左部，而 K2=7.853叫一次谐波。对应的波形分布如图 1的右部，由图可见，试棒作基频振动时有二个节点、其位置距端面分别为 0.224 和l0.776 。而对一次谐波（

6、K 2）共有三个节点、其位置分别在 0.132 、0.5 和 0.868 。实验l ll证明:棒上振动分布确实如此。1表 1 振动级次节点位置- 频率比 表中L 为杆的长度。级次 n 基频 n= 1一次谐波 n=2 二次谐波 n=33节点数节点位置20.224l0.77630.132l0.502 0.868l40.094 0.356l0.644 0.906l频率比 F1 f2=2.76f1 f3=5.40f10.224 0.5 0.776 当 d=8mm， =180mm 时 f2=2.74 lll lf1（修正值）我们将第一个本征值 K1= 4.730/ 代入频率公式（3）可得到自由振动时的固

7、有频率。l基频： 214730.SEI因对圆形棒有： 整理后 E（圆）=1.6067 (3)224dSsyI 243fdml同理对 b 为宽度、h 为厚度的矩形棒有： E（矩）= (4)23946.0fbhl也能推出上述试样切变模量与共振频率关系： G 圆杆 (5)2.5GfdlG矩形 (6)20.4Gfbhml式中：长度 、直径 d、宽 b、厚 h等几何尺寸均以 m为单位，质量 m以 Kg为单位，频率lf以 Hz为单位，计算出弹性模量单位 。2N22：悬挂方式：（图 2）图 2 是常用机械耦合法中的悬丝耦合方式，无论采用图中哪一种悬挂方法都能满足一次悬吊4试样后可相继测出弯曲共振和扭转共振频

8、率的需要，对圆杆，管状试样采用 b 方式更好，如只测试样的杨氏模量，建议使二根悬丝与试样中轴线处于同一截面内。 可以推出，对一般金属材料几何尺寸为 5150 毫米或 6180 毫米 EGf10对 2.5150 毫米的矩形杆 f8注：共振频率 f和固有频率 f0是相关的二个不同概念，其关系为： 固有= 共振ff241Q式中 Q值远大于 30,由上式可知以 f 共振 代替 f 固有 所导致的偏差不会大于 0.03%，故我们通常忽略两者差别。需要指出：（1）：上述几个公式都是对“长杆”即 d 的情况下导出，当此条件不能满足时，上述公l式需修正，即：E 弹 =E 测 T1；修正系数 T1与径长比及材料

9、的泊松比 有关，当 0.30, d=8m/m , =180m/m时，T 11.008 。对切变模量 ，R 与形状有关，详见 GB2105-l G测切91。2（2）：当 d 时，对圆杆各次谐波频率的比值为：（f 基 lf1f 2=12.7565.4048.933） 。当 d 不能满足时（例如对 d=8m/m， =180m/m）上述频率比应作修正。l l即：f O/f1=12.74以上修正详见国家标准 GB2105-91。三：实验装置：全套实验装置及连线如图 3下所示：43 33 3 接 1 接 61 2 54 7 88彩缤纷 82 5Y X 65A B 图 2 图 3（图 3）装置各部分叙述如下

10、3-1：功率函数信号发生器，可产生 5-550KHz、功率（5W）的信号，有粗调及二级精密（0.1Hz）微调，石英稳频，有方波、正弦波及三角波三种波形输出，本实验使用正弦波，其输出强度可用分段或连续调节，输出频率数值由 6位 LED直接显示，本信号发生器还可当外测频率计（5-100KHz）使用。本机装有过载保护，一旦超载，仪器自动切断输出，这应迅速切断仪器电源并排除故障，约 10余秒后重新启动，仪器又能正常工作。6-I 和 6-分别为激发一接收放大器（其放大倍率分别为 10-100倍）专门订购，只在感到自备信号源功率不足或感到接收信号微弱时才使用，一般情况下采用我厂的信号源及换能器时无需使用放

11、大器。3-2：2 和 5为激发和接收换能器，2 将电信号变为机械振动信号输入试样，5 为接收换能器用以检测试样振动情况。我厂二种换能器均采用压电换能器。3-3：4 是试样（圆柱、圆管、矩形均可） ，对管状或矩形试样计算公式详见 GB/T2105-91。但直径必须一致、质量分布必须均匀、试样内部不能有夹渣、气孔及偏析，否则会现多个共振频率。通常采用 6-8mm， 160-180(200)mm圆柱试样。l3-4：7 为示波器，其灵敏度最好为 5mV/div以上，但 10mV/div的亦勉为可用。3-5：8 为加热炉，温度可达 1000；推荐在 800以下工作可延长加热炉的使用寿命。63-6：9 是

12、 4位数显比例式温度控制器。当温控器调节旋扭由 1-6档时、其输出电压可在90V-220V之间连续调节。建议低温时采用低档（1-3） 、高温时采用高档（4-6）档调节。注意只有当试样内外温度一致时、测定的数据才是该温度时的真实数据，测定前先确定“设定”温度，然后拨至“测量”档，这时显示出实际炉温。注意，当屏上出现 1500-1800大数时，说明热电偶热点已开焊需重新焊好或换用热电偶。对精确测定，热电偶的冷点应放入0 冰-水混合液中。3-7：10 是热电偶，本设备采用 K型（镍铬-镍硅）热电偶，理论上测定温度可达 1200，实际上1000才能长期使用，精确测定时热电偶应作校准。3-8：图 3-B

13、为支撑式支架（我厂特有）激发和接收换能器 2-5均可沿横杆 AB水平调动位置。试样放上，只要二个支持点不正好都在节点，试样无需捆绑就能完成测定。实验发现采用支撑式支架，还能较为方便的测定出一次谐波共振频率。四、实验步骤：41：将各设备按图 3联接好（注意各设备要接共地线） ，启动信号发生器，频率置于 2.5K档、连续调节输出频率、此时激发换能器应发出相应声响。轻敲桌面，示波器 Y轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，这说明整套装置已处于工作状态。42：先将二端有刻度的试样放在支撑支架上（注意不要置于二个节点上） ，由低到高调节输出频率，直至在某一频率使显示屏上的利萨如图形出现最大值并在 Y轴左右

14、摆动，记下这个频率，然后用听诊器（不要碰试样）或细金属物（例如尖咀镊子）沿轴向移动，看7声强及振动强度是否按图 1发生变化。可以发现：当金属物触及二个节点时、示波器波形变化不大，而触及腹点时，示波器示值很快减少。43：若示波器显示信号太大或太小时可适当调节信号源的输出或示波器的放大倍率使波形大小合适，继续升高频率大约在 2.74倍处看是否能测出一次谐波共振频率。44：变动支撑点，作 -位置曲线，用外推法推出节点的共振频率。f45：换用其它三种试样、验证直径-长度和共振频率的关系是否符合（3）-（6）式。346：将耐热试样用高温悬丝捆好，室温500以下采用 0.1 左右铜丝,5001000采用Ni-Gr挂在悬挂支架上测出基频。建议采用在接近二端激发-接收方式以取得最好效果。测出基频并确认无误后再将试样放入炉内，将试样二端调整在炉腔中心，再用保温棉堵住（除悬丝附近留二个小孔外）所有部位（包括二端） ，一定要保证二根悬丝和试棒不与任何物体相碰，否则将影响实验进行，有关温控器及加热炉具体操作、详见说明书。47：测 -T曲线：画出 E-T曲线，自室温开始每 50-100测一次共振频率，最好采用f端点悬挂接收方式以保证较好的激发一接收效果，每一个测点保温时间约 10分钟以使试样内外均温，对非