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1、专项限时集训(二)立体几何中的探索性与存在性问题(对应学生用书第115页)(限时:60分钟)1(本小题满分14分)(南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)如图3,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCAC,D,E分别是AB,AC的中点图3(1)求证:B1C1平面A1DE;(2)求证:平面A1DE平面ACC1A1.证明(1)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DEBC,2分又因为在三棱柱ABCA1B1C1中,B1C1BC,所以B1C1DE.4分又B1C1平面A1DE,DE平面A1DE,所以B1C1平面A1DE.6分(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1底面ABC,又DE底面ABC,所以C
2、C1DE.8分又BCAC,DEBC,所以DEAC,10分又CC1,AC平面ACC1A1,且CC1ACC,所以DE平面ACC1A1.12分又DE平面A1DE,所以平面A1DE平面ACC1A1.14分2(本小题满分14分)如图4所示,已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADDC,ABDC,DCDD12AD2AB2.图4(1)求证:DB平面B1BCC1;(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使得D1E平面A1BD,并说明理由解(1)因为ABDC,ADDC,所以ABAD,在RtABD中,ABAD1,所以BD,易求BC,4分因为CD2,所以BDBC.又BDBB1,B1BBCB,所以BD平面B1B
3、CC1.6分(2)DC的中点为E点如图所示,连接BE,因为DEAB,DEAB,所以四边形ABED是平行四边形.8分所以ADBE.又ADA1D1,所以BEA1D1,10分所以四边形A1D1EB是平行四边形,所以D1EA1B.12分因为D1E平面A1BD,所以D1E平面A1BD.14分3(本小题满分14分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图5, 在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知D,E分别为BC,B1C1的中点,点F在棱CC1上,且EFC1D.求证:图5(1)直线A1E平面ADC1;(2)直线EF平面ADC1. 【导学号:56394093】证明(1)连接ED,因
4、为D,E分别为BC,B1C1的中点,所以B1EBD且B1EBD,所以四边形B1BDE是平行四边形,2分所以BB1DE且BB1DE,又BB1AA1且BB1AA1,所以AA1DE且AA1DE,所以四边形AA1ED是平行四边形,4分所以A1EAD,又因为A1E平面ADC1,AD平面ADC1,所以直线A1E平面ADC1.7分(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中,BB1平面ABC,又AD平面ABC,所以ADBB1,又ABC是正三角形,且D为BC的中点,所以ADBC,9分又BB1,BC平面B1BCC1,BB1BCB,所以AD平面B1BCC1,又EF平面B1BCC1,所以ADEF,11分又EFC1D,C1D
5、,AD平面ADC1,C1DADD,所以直线EF平面ADC1.14分4(本小题满分14分)(镇江市2017届高三上学期期末)在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBCECAA1.图6(1)求证:AC1平面BDE;(2)求证:A1E平面BDE.证明(1)连接AC交BD于点O,连接OE.在长方体ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD为正方形,点O为AC的中点,2分AA1CC1且AA1CC1,由ECAA1,则ECCC1,即点E为CC1的中点,于是在CAC1中,AC1OE.4分又因为OE平面BDE,AC1平面BDE.所以AC1平面BDE.6分(2)连接OA1,根据垂线定理,可得OA1DB,OEDB
6、,OA1OEO,平面A1OEDB.可得A1EDB.8分E为CC1的中点,设ABBCECAA1a,BEa,A1Ea,A1Ba,A1B2A1E2BE2,A1EEB.12分EB平面BDE,BD平面BDE,EBBDB,A1E平面BDE.14分5(本小题满分16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017届高三上学期期末)如图7,在四棱锥EABCD中,平面EAB平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EAEB,点M,N分别是AE,CD的中点图7求证:(1)直线MN平面EBC;(2)直线EA平面EBC.证明(1)取BE中点F,连接CF,MF,又M是AE的中点,所以MF綊AB,又N是矩形ABCD边CD的中
7、点,所以NC綊AB,所以MF綊NC,所以四边形MNCF是平行四边形,4分所以MNCF,又MN平面EBC,CF平面EBC,所以MN平面EBC.8分(2)在矩形ABCD中,BCAB,又平面EAB平面ABCD,平面ABCD平面EABAB,BC平面ABCD,所以BC平面EAB,12分又EA平面EAB,所以BCEA,又EAEB,BCEBB,EB,BC平面EBC,所以EA平面EBC.16分6(本小题满分16分)(无锡市2017届高三上学期期末)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,AP平面PCD,E,F分别为PC,AB的中点求证:图8(1)平面PAD平面ABCD;(2)EF平面PAD. 证明(1)AP
8、平面PCD,CD平面PCD,APCD.ABCD为矩形,ADCD,2分又APADA,AP平面PAD,AD平面PAD,CD平面PAD,4分CD平面ABCD,平面PAD平面ABCD.6分(2)连接AC、BD交于O,连接OE,OF.ABCD为矩形,O为AC中点,E为PC中点,OEPA.OE平面PAD,PA平面PAD,OE平面PAD,10分同理OF平面PAD,12分OEOFO,平面OEF平面PAD,14分EF平面OEF,EF平面PAD.16分7(本小题满分16分)(扬州市2017届高三上学期期末)如图9,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,点E、F分别是棱PC和PD的中点图9(1)求证:EF平面PAB;(2)若APAD,且平面PAD平面ABCD,证明:AF平面PCD. 【导学号:56394094】证明(1)因为点E、F分别是棱PC和PD的中点,所以EFCD,又在矩形ABCD中,ABCD,所以EFAB,3分又AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PAB.6分(2)在矩形ABCD中,ADCD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,CD平面ABCD,所以CD平面PAD,又AF面PAD,所以CDAF.因为PAAD且F是PD的中点,所以AFPD,由及PD平面PCD,CD平面PCD,PDCDD,所以AF平面PCD.16分- 6 -