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1、一、选择题1设为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则b解析：选B.若a，b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a，ab，则b或b，故C错误；若a，ab，则b或b或b与相交，故D错误故选B.2设l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l解析：选B.对于A，若l，l，则或与相交，故A错；易知B正确；对于C，若，l，则l或l，故C错；对于D，若，l，则l与的位置关系不确定，故D错故选B.3.如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD
2、，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：选C.因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.4已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若m，n，nm，则；若m，m，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命题是()ABCD解析：选B.两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线
3、垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确5(2018高考全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C.如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD1
4、1，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.6.如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A2B3C4D5解析：选B.如图，设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E平面ABC，因为D1E平面ABD1，所以平面ABD1平面ABC.因为D1E平面ABC，BC平面ABC，所以D1EBC，又ABBC，D1EABE，所以BC平面ABD1，又BC平面BCD1，所以平面BCD1平面ABD
5、1，因为BC平面ABD1，AD1平面ABD1，所以BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，所以AD1平面BCD1，又AD1平面ACD1，所以平面ACD1平面BCD1.所以共有3对平面互相垂直故选B.二、填空题7(2018广州调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为_解析：如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N，故NT21，因为M为CC1的中点，故CM1，连接TC，由NTCM，且CMNT1，知四边形CMNT为平行四边形，故C
6、TMN，同理在AA1上靠近A处取一点Q，使得AQ，连接BQ，TQ，则有BQCTMN，故BQ与MN共面，即Q与Q重合，故AQ.答案：8.如图，ACB90，DA平面ABC，AEDB交DB于点E，AFDC交DC于点F，且ADAB2，则三棱锥DAEF体积的最大值为_解析：因为DA平面ABC，所以DABC，又BCAC，DAACA，所以BC平面ADC，所以BCAF.又AFCD，BCCDC，所以AF平面DCB，所以AFEF，AFDB.又DBAE，AEAFA，所以DB平面AEF，所以DE为三棱锥DAEF的高因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE，设AFa，FEb，则AEF的面积Sab，所以三棱锥D
7、AEF的体积V(当且仅当ab1时等号成立)答案：9(2018昆明调研)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，AA12.过点A1作平面与AB，AD分别交于M，N两点，若AA1与平面所成的角为45，则截面A1MN面积的最小值是_解析：如图，过点A作AEMN，连接A1E，因为A1A平面ABCD，所以A1AMN，所以MN平面A1AE，所以A1EMN，平面A1AE平面A1MN，所以AA1E为AA1与平面A1MN所成的角，所以AA1E45，在RtA1AE中，因为AA12，所以AE2，A1E2，在RtMAN中，由射影定理得MEENAE24，由基本不等式得MNMEEN24，当且仅当MEEN，即E为M
8、N的中点时等号成立，所以截面A1MN面积的最小值为424.答案：4三、解答题10.如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD、BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明：(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD且BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又因为ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又
9、因为AC平面ABC，所以ADAC.11.如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.因为F为CD的中点，所以GFDE且GFDE.因为AB平面ACD，DE平面ACD，所以ABDE，所以GFAB.又因为ABDE，所以GFAB.所以四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因为ACD为等边三角形，F为CD的中点，所以AFCD.因为DE平面ACD，AF平面ACD，所以DEAF.又CDDE
10、D，所以AF平面CDE.因为BGAF，所以BG平面CDE.又因为BG平面BCE，所以平面BCE平面CDE.12如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体(1)求证：AB平面ADC；(2)若AD1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离解：(1)证明：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又DCBD，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又因为折叠前后均有ADAB，且DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知DC平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成的角依题意知tan CAD，因为AD1，所以DC.设ABx(x0)，则BD，易知ABDDCB，所以，即，解得x，故AB，BD，BC3.由于AB平面ADC，所以ABAC，又E为BC的中点，所以由平面几何知识得AE，同理DE，所以SADE1 .因为DC平面ABD，所以VABCDCDSABD.设点B到平面ADE的距离为d，则dSADEVBADEVABDEVABCD，所以d，即点B到平面ADE的距离为.
