《高考文科数学命题热点名师解密专题：两招破解平面向量难题 (1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考文科数学命题热点名师解密专题：两招破解平面向量难题 (1)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 【学习目标】 1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结 二 【平面向量解题方法规律】 1.用向量解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的 问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共 线解决三点共线问题等，总之
2、，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没 有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题. 3.几点注意事项 (1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能 重合. (2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补. (3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积 ab0，尽量用坐标运算. 三 【平面向量题型分析】 （一）平面向量基本定理的应用 例 1设 为所在平面内一点，若，则（ ） A-2 B C D2 【答案】A 【解析】由，根据向量运算的“三角形法则
3、”可得，结合，求得 的值，从而可得结果. 【详解】， ， ，故选 A. 【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以 当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点 P 在点 D 时,最小（如 图所示） ， 在三角形 ADE 中，由等面积可知，所以 ，从而.所以 .故选 D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查了计 算能力，属于中档题. （二）向量中的最值问题 例 2设是半径为 2 的圆 上的两个动点，点 为中点，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】将两个向量，都转化为两个方向上，然后利用数量积的公式和
4、三角函数的值域，求得 题目所求数量积的取值范围. 练习 1已知 12 ,e e 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b 满足，则对于 任意的最小值为_. 【答案】2 【解析】 当且仅当1x ， 1y 时，取得最小值2 此时，取得最小值2 练习 2在边长为 1 的正ABC 中，=x，=y，x0，y0 且 x+y=1，则的最大值为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】，由此能求出当 时，的最大值为 练习 1在ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交边AB、AC于M、N两点,设 ,则4xy的最小值是 【答案】 9 4 【解析】，,M E N共线， 11 1 44xy ，当且仅当 4 xy
5、 yx 时等号成立，故最小 值为 9 4 【名师点睛】本题首先考查向量的线性运算，实质就是求出, x y满足的等量关系，题中唯一的关系就是 ,M N E三点共线，由此联想平面向量的一个定理：,OA OB 是平面的一个基底， ， 则, ,A B C三点共线1xy这样只要由平面向量的线性运算把AE 用,AM AN 表示出来就可得 , x y的等量关系然后只要应用“1”的代换结合基本不等式可求得最值 练习 2如图，在ABC中，D是线段BC上的一点，且4BCBD ，过点D的直线分别交直线 ,AB AC于点,M N，若AMAB ，则3的最小值是 . 【答案】3 考点： 1、向量的概念及几何表示；2、向量
6、数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义. 方法点睛：由向量减法法则可知，代入已知条件4BCBD 得到 ，再把已知条件AMAB ，代入得到 ，根据,B D C三点共线得 13 1 44u ，利用均值不等式得到 3 4 u，而 ，从而求得3的最小值是3. 练习 3在四面体中，点 ， 分别为，的中点，若，且 ， ， 三点共 线，则 A B C D 【答案】B （七）坐标法解决向量问题 例 7如图，在矩形ABCD中， 3AB ， 3 2AD ，点E为BC的中点，如果2DFFC，那么 AF BE 的值是_ 【答案】9 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 则, , 9AF BE . 练习 2如
7、图，O为ABC的外心，为钝角，M是边BC的中点，AOAM 的 值（ ） A 4 B.6 C7 D 5 【答案】D 练习 3 是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点 满足， ，则动点 的轨迹一定经过的（ ） A重心 B垂心 C外心 D内心 【答案】B 【解析】解出，计算并化简可得出结论 【详解】（） ， ， ，即点 P 在 BC 边的高上，即点 P 的轨迹经过ABC 的垂心 故选：B 练习 4已知点 O 是锐角ABC 的外心，a，b，c 分别为内角 A、B、C 的对边，A= ，且 ，则 的值为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由题意画出图形，设的外接圆半径为 ，根据三角形外心的性
8、质可得：， 由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等式两边同时与进行数量积运 算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出 的值 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组 所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直 角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、斜率型（型）和距离型（型） (3)确定最优解：根据目标函数的类型， 并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值
9、。 练习 1若曲线和上分别存在点,使得是以 原点 为直角顶点的直角三角形，AB 交 y 轴于 C,且则实数 的取值范围是（ ） A B C D 【答案】B 【详解】设 A（x1，y1） ，y1f（x1），B（x2，y2） ，y2g（x2）x23+x22（x0） ，又 ， 则，x22x1， ， 由题意，即0， ， e1x1e21， 则 设 h（x），则 h（x）， 令,则 u（x）=0 在 e1xe21 恒成立， 所以单增，所以= 0，h（x）0， 即函数 h（x）在（e1xe21）上为增函数， 则， 即 4e-2a 实数 a 的取值范围是 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量
10、积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面 积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题 （十）向量的几何意义 例 10已知 ， 是单位向量， 0若向量 满足|1，则| |的最大值为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出 【详解】 练习 1的斜边等于 4，点 在以 为圆心，1 为半径的圆上，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】C 练习 2已知在平面四边形中， ，,，点 为边上 的动点，则的最小值为 A B C D 【答案】C 【解析】以 为原点，以所在的直线为 轴，以所在的直线为 轴，求出 ， ， 的坐标，根据向量的 数量积和二次函数的性质即可求出 【详解】如图所示，以 为原点，以所在的直线为 轴，以所在的直线为 轴， 过点 作轴，过点 作轴， ， ， ， ， 设， ， 当时，取得最小值为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二 次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常 用手段，属于中档题
