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1、第一节 二维随机变量,二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 课堂练习 小结 布置作业,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .,它是第二章内容的推广.,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等.,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,量.,以下重
2、点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照 .,如果对于任意实数,二元 函数,称为二维随机变量 的分布函数,定义1,一、二维随机变量的分布函数,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,分布函数的函数值的几何解释,分布函数的几何意义,(x, y),F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) 0,事实上, F (b,c), F (a,d),+ F (a,c),F (b,d),随机点 落在矩形域,内的概率为,(x, y),F性质,或随机变量X和Y 的联合分布
3、律.,k=1,2, ,X 的分布律,k=1,2, ,定义2,的值是有限对或可列无限多对,设二维离散型随机变量,可能取的值是,记,如果二维随机变量,全部可能取到的不相同,称之为二维离散型随机变量 的分布律,二、二维离散型随机变量,二维离散型随机变量 的分布律具有性质,也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.,例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),PX=0, Y=3,PX=1, Y=1,PX=
4、2, Y=1,PX=3, Y=0,=3/8,=3/8,X的概率密度函数,定义3,三、二维连续型随机变量,二维连续型随机变量 的概率密度具有性质,（X,Y）的概率密度的性质 :,在 f (x,y)的连续点 ,例2 设(X,Y)的概率密度是,(1) 求分布函数,(2) 求概率 .,积分区域,区域,解 (1),当 时,故,当 时,(2),四、课堂练习,解 (1),故,(2) .,五、小结,在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数 ,离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数.,第二节 边缘分布,边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度
5、课堂练习 小结 布置作业,二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?,这一节里,我们就来探求这个问题 .,二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,分别记为,一、边缘分布函数,二维随机变量的边缘分布函数,一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，,则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为,X和Y 的联合分布律为,二、离散型随机变量的边缘分布律,(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为,例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值
6、, 求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),PX=1, Y=1,PX=2, Y=1,PX=3, Y=0,=3/8,=3/8,PX=0=,PX=1=,PX=2=,PX=3=,PY=1=,PY=3=,=1/8,PX=0, Y=1+PX=0, Y=3,=3/8,PX=1, Y=1+PX=1, Y=3,=3/8,PX=2, Y=1+PX=2, Y=3,PX=3, Y=1+PX=3, Y=3,=1/8.,=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个
7、名词.,联合分布与边缘分布的关系,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,对连续型 r.v ( X,Y ) ，,X 和Y 的联合概率密度为,则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为,事实上 ,三、连续型随机变量的边缘概率密度,( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为,例2 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。,= 5c/24 ,c =24/5.,解 (1),故,例2 设 (X,Y) 的概率密度是,解,求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 .,(2),当 时,当 时,暂时固定,注意取值范围,综上 ,当 时,例 2 设(X,Y)
8、的概率密度是,解 (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,暂时固定,综上 ,注意取值范围,在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .,下面我们介绍两个常见的二维分布.,设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G上服从均匀分布.,例,解:,例：设(X, Y)服从圆域 x2+y24上的
9、均匀分布， 计算P(X,Y)A，这里 A是中阴影部分的区域。,圆域 x2+y24面积 d=4；区域A是x=0, y=0 和 x+y=1 三条直线所围成的三角区域，并且包含在圆域x2+y24 之内，面积=0.5。 故， P(X,Y)A=0.5/4=1/8。,例：设(X,Y)服从单位圆域 x2+y21上的均匀分布。求X和Y的边缘概率密度。,解:,当|x|1时,当-1x1时,( 注意积分限的确定方法 ),熟练时，被积函数为零的部分可以不写。,由X 和Y 在问题中地位的对称性, 将上式中的 x 改为 y，得到 Y 的边缘概率密度,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,则称（ X,Y）服从参数为 的二维
10、正态分布.,记作（ X,Y） N( ).,例 3 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,解,因为,所以,则有,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 ,并且不依赖于参数 .,同理,可见,由边缘分布一般不能确定联合分布.,也就是说,对于给定的 不同的 对应,不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.,此例表明,说明,对于确定的 1, 2, 1, 2, 当 不同时, 对应不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是相同的，所以在考虑多维随机向量时，不但要考虑它们的边缘分布，还要考虑随机向量各分量之间的关系。,四、课堂练习,解,暂时固定,当 时,当 时,故,暂时固定,暂时固定,暂时固定,当 时
11、,当 时,故,1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的边缘分布.,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,2. 请注意联合分布和边缘分布的关系:,五、小结,随机变量相互独立的定义 课堂练习 小结 布置作业,第四节 相互独立的随机变量,两事件 A , B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件 A , B 独立 .,一、随机变量相互独立的定义,它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函 数等于两个边缘分布函数的乘积 .,几乎处处成立，则称 X 和 Y 相互独立 .,对任意的 x, y, 有,若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独
12、立性的定义等价于：,分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 .,若 (X,Y)是离散型 r.v ，则上述独立性的定义等价于：,则称 X 和Y 相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有,解,x0,y 0,二、例题,即,可见对一切 x, y, 均有：,故 X , Y 独立 .,解,0x1,0y1,由于存在面积不为0的区域，,故 X 和 Y 不独立 .,例2 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的
13、概率是多少？,解 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45), YU(0,60),所求为P( |X-Y | 5) ,甲先到 的概率,由独立性,先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率,P(XY),解一,P( | X-Y| 5 ),=P( -5 X -Y 5),P(XY),解二,P(X Y),=1/2,被积函数为常数， 直接求面积,=P(X Y),P( | X-Y| 5 ),类似的问题如：,甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试
14、求其中一艘船要等待码头空出的概率.,在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信号互相干扰的概率.,盒内有 个白球 , 个黑球,有放回地摸球,例3,两次.,设,第1次摸到白球,第1次摸到黑球,第2次摸到白球,第2次摸到黑球,试求,(1) 的联合分布律及边缘分布律;,(2) 判断 的相互独立性;,(3) 若改为无放回摸球,解上述两个问题.,(1) 的联合分布律及边缘分布律,解,如下表所示 :,(2),由上表可知,故 的相互独立.,(3) 的联合分布律及边缘分布律如下,表所示 :,故 不是相互独立.,由上表
15、知 :,可见,三、课堂练习,证明 对于二维正态随机变量 (X,Y) , X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 .,对任何 x,y 有,取,故,这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念. 给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握 .,四、小结,第五节 两个随机变量的函数的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 课堂练习 小结 布置作业,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?,例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1
