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1、系统的时域分析,线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性,1,卷积积分的计算和性质,奇异信号的卷积积分 延迟特性 微分特性 积分特性 等效特性,卷积积分的计算 卷积积分的性质 交换律 分配律 结合律 平移特性 展缩特性 微分积分特性 等效特性,10,一、卷积积分的计算,卷积的定义：,1. 将f(t)和h(t)中的自变量由t改为；,卷积的计算步骤：,2. 把其中一个信号h()翻转得h(-)，再平移t；,3. 将f(t) 与h(t- t)相乘；对乘积后信号
2、的积分。,4. 不断改变平移量t，计算f(t) h(t- t)的积分。,11,卷积方法的原理 就是将信号分解为冲击信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，求解系统对任意信号的零状态响应。,一、卷积积分的计算,例,解：,12,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,13,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,14,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t)
3、 * p1(t)。,15,练习1：u(t) * u(t),练习2：计算 y (t) = f (t) * h(t)。,= r(t),16,二、卷积的性质,1) 交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2) 分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3) 结合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 4) 平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y
4、(t - t1 - t2) 5) 展缩特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则,17,二、卷积的性质,6) 微分特性 已知 y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) 则 y (t) = f (t) * h(t) = h(t) * f(t) 7) 积分特性 已知 y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) 则 y (-1) (t) = f (-1) (t) * h(t) = h (-1) (t) * f(t) 8) 等效特性 已知 y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) 则 y(t) = f (-1) (t)
5、 * h(t) = h (-1) (t) * f (t),18,二、卷积的性质,平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y(t - t1 - t2),证明：,19,二、卷积的性质,展缩特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则,证明：,20,解:,例 利用平移特性及u(t) * u(t)= r(t) ，计算y(t) = f(t) * h(t)。,y(t) = f(t) * h(t) = u(t) - u(t-1) * u(t) - u(t-2) ,=u(t)*u(t) - u(t-1)*u(t) - u(t
6、)*u(t-2) + u(t-1)*u(t-2),= r(t) r(t -1) - r(t-2) + r(t-3),21,三、奇异信号的卷积,1) 延时特性 f (t) * (t -T) = f (t -T) 2) 微分特性 f (t) * (t) = f (t) 3) 积分特性,4) 等效特性,22,例 已知 y(t) = f1(t) * f2(t) ，求y(t)和 y(-1)(t),解：利用卷积的微分特性 y(t) = y(t) * d (t) = f1(t) * f2(t) * d (t),y(-1)(t) = y(t) * u(t) = f1(t) * f2(t) * u(t),= f
7、1(t) * f2(t),= f1(t) * f2(t),= f1(-1)(t) * f2(t),= f1(t) * f2(-1)(t),利用卷积的结合律,利用卷积的积分特性,利用卷积的结合律,23,解:,例 利用等效特性，计算y(t) = f (t) * h(t)。,f (t) = d (t) - d (t-1),f (t) * h(t)= h(t) - h(t-1),24,解:,例 计算下列卷积积分。,(1),(2),(3),(1),25,解:,例 计算下列卷积积分。,(1),(2),(3),(2),利用卷积的平移性质和题(1)的结论,(3),26,线性时不变系统的描述及特点,连续时间系统
8、用N阶常系数微分方程描述,ai 、 bj为常数。,离散时间系统用N阶常系数差分方程描述,ai 、 bj为常数。,线性时不变系统的描述,线性时不变系统的描述及特点,线性时不变系统的特点,LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有:,1）微分特性与差分特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk= yk,则 T fk -fk-1= yk - yk-1,2）积分特性与求和特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk= yk,则,离散时间LTI系统的响应,迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应 卷积法求系统响应 零输入响应求解 零状态响应求解,离散时间LTI系统 的数学模型为,2. 经
9、典时域分析方法:,求解差分方程,3. 卷积法:,系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应,求解齐次差分方程得到零输入响应,利用卷积和可求出零状态响应,系统响应求解方法:,1. 迭代法:,离散时间LTI系统的响应,一、迭代法,已知 n 个初始状态 y-1, y-2, y-2, y-n 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。,例 一阶线性常系数差分方程 yk-0.5yk-1=uk, y-1 = 1，用迭代法求解差分方程。,解： 将差分方程写成,代入初始状态，可求得,依此类推,缺点：很难得到闭合形式的解。,二、经典时域分析方法,差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yhk和特解ypk组成:,齐次解
10、yhk的形式由齐次方程的特征根确定,特解ypk的形式由方程右边激励信号的形式确定,二、经典时域分析方法,(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn,(2) 特征根是等实根 r1=r2=rn,(3) 特征根是成对共轭复根,齐次解的形式,二、经典时域分析方法,常用激励信号对应的特解形式,ak (a不是特征根),ak (a是特征根),例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = f k 初始条件y0 = 0，y1 = -1，输入信号 f k = 2k uk，求系统的完全响应yk。,特征根为,齐次解yhk,解 ： (1) 求齐次方程yk-5yk-1+6yk-2
11、 = 0的齐次解yhk,特征方程为,解 ：,(2) 求非齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 =fk的特解ypk,由输入f k的形式，设方程的特解为,将特解代入原差分方程即可求得常数A= -2。,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = f k 初始条件y0 = 0，y1 = -1，输入信号 f k = 2k uk，求系统的完全响应yk。,解 ：,(3) 求方程的全解，即系统的完全响应yk,解得 C1= -1，C2= 1,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = f k 初始条件y0 = 0，y1 = -1，输入信号
12、f k = 2k uk，求系统的完全响应yk。,经典法不足之处,若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,三、卷积法,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法： 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始状态确定待定系数。,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+3yk-1+2yk-2=fk 系统的初始状态为y-1=0， y-2= 1/
13、2，求系统的零输入响应yxk 。,解： 系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1=1，C2= -2,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+4yk-1+4yk-2=fk 系统的初始状态为y-1=0， y-2= 1/2，求系统的零输入响应yxk 。,解： 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,解得 C1 = 4, C2= 4,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk-0.5yk-1+yk-2 -0.5yk-3 =fk 系统的初始状态为y-1 = 2， y-2= -1， y-3= 8，求系统的零输入响应yxk 。,解： 系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1=
14、1，C2= 0 ，C5= 5,三、卷积法,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,求解系统的零状态响应yf k方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f k产生的响应称为系统的零状态响应，用yf k表示。,2.系统的零状态响应,卷积法求解系统零状态响应yf k的思路,1) 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合 2) 求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 单位脉冲响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意序列f k激励下系统的零状态响应yf k 。,卷积法求解系统零状态响应yf
15、 k推导,由时不变特性,由均匀特性,由叠加特性,例 若描述某离散系统的差分方程为:,已知激励 ,求系统的零状态响应yf k。,解：,离散时间系统的单位脉冲响应,单位脉冲响应hk定义 hk的求解 迭代法 等效初始条件法 阶跃响应gk的求解,一、单位脉冲响应hk定义,单位脉冲序列 k作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号hk表示。,对 N 阶LTI离散时间系统， hk满足方程,二、 hk的求解,求解方法:,2) 等效初始条件法,将d k-j对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。,等效初始条件由差分方程和h-1 = h-2 = = h-n = 0 递推求出。,1) 迭代法,例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。,解：hk满足方程,1) 求等效初始条件,对于因果系统有h-1 =
