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1、1,连续周期信号的频域分析,周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱,2,频域,频域（frequency domain）即频率域，是指在对函数或信号进行分析时，分析其和频率有关部份，而不是和时间有关的部份。 频域下的信号：信号在时域下的图形可以显示信号如何随着时间变化，而信号在频域下的图形（一般称为频谱）可以显示信号分布在哪些频率及其比例。,3,连续信号的分解,1、连续信号分解为单位冲激信号的线性组合,2、连续信号分解为一系列不同频率的正弦信号或复指数信号的线性组合,利用单位冲激响应求解系统的输出信号,利用频域特性求解系统的输出信号及系统函数,4
2、,连续周期信号的频域分析,将信号表示为不同频率复指数分量的线性组合,从信号分析的角度，将信号表示为不同频率复指数分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应,而且每个正弦分量通过系统后的变化。,意义：,5,一、周期信号的傅里叶级数展开,1、 傅里叶级数的引进 法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后世称为傅里叶级数。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,6,2.信号分解为正交函数,矢量正交与正交分解 矢量正交的定义：指矢量 与 的内积为
3、 0. 即 正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合 如三维空间中，以矢量vx=(2,0,0), vy=(0,2,0), vz=(0,0,2), 所组成的集合就是一个正交矢量集，且完备。 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间,7,2.信号分解为正交函数,信号正交与正交函数集 信号正交：定义在(t1,t2)区间的 和 满足 （两函数内积为0） 则称 和 在区间(t1,t2)内正交。 正交函数集：若n个函数 构成一个函数的集，这些函数在区间(t1,t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集,8,2.信号分解为正交函数,完备正交函数集 如果在正交函数集 之外不存在函数 满足
4、（i=1,2,n） 则称此函数为完备正交函数集。 例如：三角函数集 虚指数函数集 是典型的在区间 上的完备正交函数集。,9,2.信号分解为正交函数,信号的正交分解 设有n个函数 在区间(t1,t2)构成一个正交函数空间。将任意函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1,t2)为最小。 通常使误差的均方误差最小。均方误差为,10,2.信号分解为正交函数,为使上式最小 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为： 即 所以系数,11,2.信号分解为正交函数,代入求最小均方误差 在用正交函数去近似f(t)时，所取得
5、的项数越多，即n越大，则均方误差越小。当 时（为完备正交函数集），均方误差为0，此时有 上式称为(Parserval)巴塞瓦尔公式，表明在区间(t1,t2)，f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,12,3、傅里叶级数 傅里叶级数的三角形式 (1)三角函数集 在一个周期内是一个完备的正交函数集。,13,（2） 级数形式,设周期信号f(t)，周期为T, 角频率为 当满足Dirichlet条件时，可分解为如下三角级数： 其中 ， 为傅里叶系数,an是n的偶函数,bn是n的奇函数,14,纯余弦形式傅里叶级数,其中,a0/2
6、称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。,（n的偶函数）,（n的奇函数）,n=1,2,上式表明，周期信号可分解为直流分量和许多余弦分量,15,波形的对称性与谐波特性,(1) f(t)为偶函数,bn=0，展开为余弦级数,(2) f(t)为奇函数,an=0，展开为正弦级数,(3) f(t)为半波镜像信号,此时傅里叶级数中只含奇次谐波分量,16,(4) 半波重叠信号,此时傅里叶级数中只含偶次谐波分量,17,4、周期信号展开为傅里叶级数条件,周期信号f (t)应满足Dirichlet条件，即： (1) 在一个周期内绝对可积，即满足 为有限值。 (2) 在一个周期
7、内只有有限个不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。,注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。,18,5、傅里叶级数的指数形式 傅里叶级数的 阶谐波 可以用指数形式表示。由欧拉公式 得,三角形式的傅里叶级数含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数,19,这就是傅里叶级数的复数形式， 为复振幅， 与 是一对共轭复数,如果记 那么上面的傅里叶级数就化成一个简洁的形式,当f(t)为实数时，上式如何表示？P117,Cn为复傅里叶系数,20,一、周期信号的傅里叶级数展开,5、 指数形式傅里叶级数,连续时间周期信号可以
8、用指数形式傅里叶级数表示为,其中,两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量,的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量,的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量,物理含义：,周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和,这一项是一个常数，称为信号的直流分量,21,例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。,解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，,因此， f (t)的指数形式傅里叶级数展开式为,22,例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。,解:,可得， f(t)的三角形式傅里叶级数展开式为,由,23,例
9、2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。,解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在,24,例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。,解:,周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为,25,例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。,解:,周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为,由,26,例3 求 Cn 。,解:,根据指数形式傅里叶级数的定义可得,27,二、傅里叶级数的基本性质,线性特性,时移特性,28,二、傅里叶级数的基本性质,卷积性质,微分特性,若 f1(t) 和 f2(t) 均是周期为T0的周期信号，且,29,例4 求图示周期信
10、号f(t)的傅里叶级数,f (t) = f1(t) - f2(t),30,连续周期信号的频域分析,周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 离散傅里叶级数,31,回顾,本小节要以一种图形来表示信号-频谱图（区别于时域分析）,32,周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率变化的关系，即,将 的关系分别画在以 为横坐标的平面上得到的两个图，分别称为幅度频谱图和相位频谱图。因为n=0，所以称这种频谱为单边谱。,三、周期信号的频谱及其特点,1. 频谱的概念,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。,33,
11、频谱图示（单边）,幅度频谱,相位频谱,34,三、周期信号的频谱及其特点,周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和,Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。,不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。,35,三、周期信号的频谱及其特点,直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。能够说明信号的频域特性。,幅度频谱,相位频谱,36,试求该周期信号的基波周期T，基波角频率 ，画出它的单边、双边频谱图。,解：首先改写f(t)表达式，即,例1：周期信号,的周期T1=8,的周期T
12、2=6,所以f(t)的周期T=24 基波角频率,是f(t)的,次谐波分量,是f(t)的,次谐波分量,37,例2 周期矩形脉冲信号的频谱图,38,例3 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的Fourier级数表示式。,解：,由图可知,39,三、周期信号的频谱及其特点,3. 频谱的特性,(1) 离散频谱特性,周期信号的频谱是由间隔为w0 的谱线组成的。,信号周期T越大，w0就越小，则谱线越密，谱线幅度降低，但对振幅收敛性无影响。反之，T越小，w0越大，谱线则越疏。,40,一般当周期信号的幅度频谱随着谐波nw0增大，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。 谱线与波形参数之间的关系： T一定， 变
13、小，此时谱线间隔 不变，两零点之间的谱线数目： 增多。,三、周期信号的频谱及其特点,3. 频谱的特性,(2) 幅度衰减特性(收敛性）,一定，T增大，间隔 减小，频谱变密，幅度减小。,T趋于无穷大时，间隔趋于0，频谱变为连续谱。,41,三、周期信号的频谱及其特点,3. 频谱的特性,(3) 信号的有效带宽,02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即,信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其wB越小；反之， 越小，其wB 越大。,42,三、周期信号的频谱及其特点,3. 频谱的特性,(3) 信号的有效带宽,物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信
14、号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。,说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。,信号的有效带宽有多种定义方式。,43,四、周期信号的功率谱,物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流和n次谐波分量在1欧电阻上消耗的平均功率之和。,周期信号的功率频谱： |Cn|2 随nw0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。,帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理,44,例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。,解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为,将A=
15、1，T=1/4， = 1/20，w0= 2p/T = 8p 代入上式,45,例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。,解：,包含在有效带宽(0 2p /t )内的各谐波平均功率为,信号的平均功率为,46,例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。,周期信号的功率谱,47,例4,求f (t)的功率。,解：,1),2),48,吉伯斯（Gibbs）现象,用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。,吉伯斯现象产生原因,时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。,49,N=5,N=15,N=50,N=500,吉伯斯（Gibbs）现象,50,分析问题使用的数学工具为
