北京市第八中学2019届高三上学期10月月考数学（理）试题（解析版）

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1、1 北京市第八中学北京市第八中学 20192019 届高三届高三 1010 月月考数学（理）试题（解析版）月月考数学（理）试题（解析版） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题）小题） 1.，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：由“同号两数取倒数，不等号反向”知 B 不对；由“不等式两边同除或同乘一个负数，不等号反向” 知 C,D 均不正确，故选 A。 考点：本题主要考查不等式的性质。 点评：简单题，利用不等式的性质及一些“小结论”。 2.已知 ：， ：若 是 的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D.

2、【答案】B 【解析】 试题分析：由得，由不能退出，由能推出，故 考点：充分条件必要条件的应用 3.下列函数中，在内有零点且单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：因为符合（-1，1）内有零点且单调递增的是，选项 A 没有零点，错误，选项 C 中零点不在给定区间， 选项 D 中，单调递减，只有 C 成立。 4.直线l与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点C为，则直线l的方 程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：由圆的方程求出圆心坐标，连接 OC 得到 OCAB，所以 kOCkAB=1，圆心坐标和 C 的坐标求出 2 直线 OC 的斜率即可

3、得到直线 l 的斜率，写出直线 l 的方程即可 解：由圆的一般方程可得圆心 O（1，2） ， 由圆的性质易知 O（1，2） ，C（2，3）的连线与弦 AB 垂直，故有 kABkOC=1kAB=1， 故直线 AB 的方程为：y3=x+2 整理得：xy+5=0 故选 A 点评：考查学生利用两直线垂直时斜率的乘积为1 这个性质解决数学问题，掌握直线与圆的方程的综合应 用，会根据条件求直线的一般式方程 5.调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量 不得超过如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血 液中酒精含量就以每小时的速度

4、减小，问他至少要经过几小时才可以加强机动车（精确到小时)（ ） A. 1 小时B. 2 小时C. 4 小时D. 6 小时 【答案】C 【解析】 【分析】 设 n 个小时后才可以驾车，由题意得方程，解得 即可 【详解】设 n 个小时后才可以驾车，根据题意可知，每小时酒精下降的量成等比数列，公比为进而可 得方程得，即，所以至少要经过 4 小时后才可以驾驶机动车 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及实际应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于 基础题. 6.若变量满足，则的最值情况为（ ） A. 有最小值 3B. 有最大值 3C. 有最小值 2D. 有最大值 4 【答案】A

5、【解析】 【分析】 先画出约束条件的可行域，由目标函数的几何意义，令得，平行直线得其最值 即可. 【详解】由约束条件得如图所示的三角形区域， 3 得由目标函数的几何意义，令得， 平行直线过点时，n 得最小值没有最大值 故选：A 【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的最值问题，利用目标函数的几何意义是关键，属于基础题. 7.椭圆与双曲线有公共焦点、，P 是它们的一个交点，则 以下判断正确的个数是（ ） 的面积为 1 A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由椭圆和双曲线的标准方程的性质即可解决 【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以 ；，是它们的一个交点，设为第一象限

6、的点，则 联立，得， , ，正确命题个数为四个 故选：D 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和标准方程的性质，属于基础题 4 8.设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点 ,则下列判断正确的是 A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 ：令可得。 设 不妨设，结合图形可知， 当时如右图，此时， 即，此时，即；同理可由图形经过推理可得 当时.答案应选 B。 【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方 程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题）

7、小题） 9.函数的定义域是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得，解出 x 的范围即可 【详解】要使有意义，则，的定义域是 5 故答案为： 【点睛】本题考查函数的定义域，注意对数函数的定义域，属于基础题. 10.若，则 a，b，c 的大小关系为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由指数与对数函数的单调性即可判断 【详解】由指数与对数函数的单调性，得，所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了三个数比较大小，利用了指数与对数函数的单调性，属于基础题 11.已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为_ 【答案】 【解析】 分析：先根据离心率得 a,b 关系，再代入渐近线方程得结果. 详解：因为双曲线

8、C：的离心率为， 所以 ， 则 C 的渐近线方程为 点睛：1.已知双曲线方程求渐近线： 2.已知渐近线 设双曲线标准方程 3，双曲线焦点到渐近线距离为 ，垂足为对应准线与渐近线的交点. 12.能说明“若 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是 _ 【答案】y=sinx（答案不唯一） 【解析】 分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得 f（x）f（0）且（0，2上是减函数. 6 详解：令，则 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，但 f（x）在0，2上不是增函数. 又如，令 f（x）=sinx，则 f（0）=0，f（x）

9、f（0）对任意的 x（0，2都成立，但 f（x）在0，2上不是增函数. 点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.通常举分段 函数. 13.已知函数 ，若，则 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先画出函数的图象，由数形结合，确定 a 的取值范围 【详解】函数的图象如图所示： 因为直线 恒过，若，则直线与的图像相切是临界位置， 当时，故当时，此时， 当时，故当时，此时， 综上，a 的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查函数图像的应用，导数的几何意义和数形结合的思想，属于中档题 14.若原点 到直线 的距离不大于 ，则在下列曲线中：； ； ； 与直

10、线 一定有公共点的曲线的序号是_（写出你认为正确的所有序号) 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得，直线 一定经过圆面内的点，由数形结合即可得结论 【详解】因为原点到直线 l 的距离小于或等于 ，故直线 一定经过圆面内的点，如图所示： 7 故与直线 一定有公共点的曲线的序号是， 故答案为： 【点睛】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题）小题） 15.设函数是奇函数，a，b，c 都是整数，且， 求 a，b，c 的值； 求函数的值域 【答案】 ， ； II 【解析】 【分析】 由为奇函数，且，得，列方

11、程组解得，由及 a，b，c 为 整数，得，； 当时，用基本不等式求得最小值，再根据奇函数的性质可得值域 【详解】 依题意得：由为奇函数，且，得， ，解得：，又，所以，即， 得， 当时，；当时，；当时，； 当时，所以，所以， 综上所述：， 由 知， 当时，当且仅当取等号，因为为奇函数，所以时， 综上所述：的值域为： 8 【点睛】本题考查奇函数的解析式和奇函数性质的应用，属于基础题 16.摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利已知某共享单车的收费标准是： 每车使用不超过 1 小时 包含 1 小时 是免费的，超过 1 小时的部分每小时收费 1 元 不足 1 小时的部分按 1

12、 小时计算，例如：骑行小时收费为 2 元 现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次设甲、乙不超过 1 小 时还车的概率分别为 ， ；1 小时以上且不超过 2 小时还车的概率分别为 ， ；两人用车时间都不会超过 3 小时 求甲乙两人所付的车费相同的概率； 设甲乙两人所付的车费之和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 【答案】 （）见解析；（）见解析. 【解析】 【分析】 （）分别求出甲、乙租车时间超过 2 小时的概率，再计算甲乙两人所付的租车费用相同的概率值；（）根据题 意知随机变量 的所有取值，计算对应的概率值，写出 的分布列，计算数学期望值 【详解】 （）甲乙两人用车时间超过 2 小时的概率分

13、别为： ， 甲乙两人所付车费用相同的概率 （）随机变量 的所有取值为. 的分布列为: 01234 9 数学期望 . 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某 事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 17.已知抛物线 C：，过点且斜率存在的直线 与抛物线 交于不同两点，且点 关于

14、轴的对称 点为 ，直线与 轴交于点 求点的坐标； 求与面积之和的最小值 【答案】 （I）（II） 【解析】 【分析】 设 与 C 的交点，且点 D 与点 B 关于 x 轴对称，得，且令，过点的 直线 l：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理可得，即可求出直线 AD 的方程，令，求出 x 的值，即可得到 M 的坐标； 把化简整理为，利用基本不等式求最值 【详解】 设过点的直线 l：，代入抛物线方程，整理得， 设 与 C 的交点，且点 B 关于 x 轴的对称点为 D，则，且令， 则， 直线 AD 的方程为，因为 ， 即， 令，得， ，则， ，则 ， 10 当且仅当，即时等号成立， 故与面积之和的最

15、小值 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用和三角形面积的最值，考查了运算能 力和转化能力，属于中档题 18.已知函数 求函数的极值； 对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围 【答案】 （I）见解析；（II） 【解析】 【分析】 先对求导，再根据导数和函数单调性关系即可求出极值； 由不等式恒成立，分离参数，构造新函数，利用导数求出新函数的最值即可 【详解】 ， 令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 在上递增，在上递减，所以在 处函数有极大值，极大值为，无极小值； 任意的，不等式= 恒成立， 在上恒成立，设，令，解得，当 时， ，所以函数单调递减，当时，所以函数单调递增， ， 实数 k 的取值范围 【点睛】本题考查了函数的极值和恒成立问题，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、最值、等价转化的方 法等是解题的关键，属于中档题 19.已知椭圆：经过点，且焦距为 2，过右焦点 F 且与坐标轴不垂直的直线与 椭圆交于 P，Q 两点 求椭圆的方程； 11 设 为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出 n 的取值范围；若不存在， 说明理由； 设 A 是椭圆的左顶点，D 是椭圆上任意一点，N 是 A 关于 D 的对称点，E 是 D 关于原点的对称点，是否存 在 D 使得？若存在，求出 D 的坐标，若不