《高考文科数学命题热点名师解密专题：幂指对函数性质活用（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考文科数学命题热点名师解密专题：幂指对函数性质活用（含答案）（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 专题专题 05 幂指对函数性质活用幂指对函数性质活用 一命题陷阱及易错点分析一命题陷阱及易错点分析 指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数，初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关 概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时，主要有概念类、分类讨论、转化不等 价、隐含条件、迷惑性等几类陷阱.其中： 1.概念类陷阱概念类陷阱，包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论，指数函数对数函数的定义中对 底数的限制及对数对真数的限制； （1）指数幂的运算.注意几个运算公式的使用. （2）指数函数底数讨论. 当时函数是减函数，当时函数是增函数. x ya01a
2、1a （3）指数函数定义.函数必须严格具备形式的函数是指数函数. （4）对数的底数和真数,它们都必须大于 0，底数还要不等于 1. 2.隐含条件陷阱隐含条件陷阱，对含有的式子，隐含着.0 x a 3. 迷惑性陷阱迷惑性陷阱，含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题. 4.分类讨论陷阱分类讨论陷阱，含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题.在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏. 5. 等价转化陷阱，等价转化陷阱，指数函数与对数函数互为反函数问题，转化为数形结合问题. 6.定义域为定义域为 R 与值域为与值域为 R 及特定定义域陷阱及特定定义域陷阱 7.幂指对函数中的倒
3、序求和幂指对函数中的倒序求和 二二 【学习目标学习目标】 1理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算 2掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用 3掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质 2 4了解指数函数了解指数函数 yax与对数函数与对数函数 ylogax 互为反函数互为反函数(a0 且且 a1)的关系的关系 三三 【知识要点知识要点】 1对数的定义对数的定义 如果如果 axN(a0 且且 a1)，
4、那么数，那么数 x 叫做以叫做以 a 为底为底 N 的对数，记作的对数，记作_，其中，其中 a 叫叫 做对数的底数，做对数的底数，N 叫做真数叫做真数 2几种常见的对数几种常见的对数 对数形式对数形式特特 点点记法记法 一般对数一般对数底数为底数为 a(a0 且且 a1)logaN 常用对数常用对数底数为底数为 10lg N 自然对数自然对数底数为底数为 eln N 3.对数的性质对数的性质(a0，且，且 a1，N0) _； logaaN_； 换底公式：换底公式：_；logab，推广，推广 logablogbclogcdlogad. 1 logba 4对数的运算法则对数的运算法则 如果如果 a
5、0 且且 a1，M0，N0，那么，那么 loga(MN)_； loga_； M N logaMn_； logamMn_ 5对数函数的概念、图象和性质对数函数的概念、图象和性质 aN alog 3 定定 义义 形如形如 ylogax(a0，且，且 a1)的函数叫对数函数的函数叫对数函数 图图 象象 (1)定义域：定义域：_ (2)值域：值域：_ (3)过点过点_，即，即 x1 时，时，y0 (4)在在(0，)上是上是_在在(0，)上是上是_ 性性 质质 (5)x1 时，时，_ 01 时，时，_ 0a10，m=ab1aa1n=ba1，则 mn， 本题选择 C 选项. 2.幂指对函数的性质幂指对函数
6、的性质 例例 2【江苏扬州江苏扬州 2019 模拟模拟】已知已知是是上的减函数，那么上的减函数，那么 的取值范围是的取值范围是 （ ） A B C D 【答案答案】C 【分析】由在 上递减， 在上递减，结合即可 得结果. 【点评】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难 点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段 函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致. 练习练习 1.函函数数的单调递增区间为（的单调递增区间为（ ） A （，2） B （2，+） C
7、 （，4） D （4，+） 【答案答案】D 7 【解析解析】先求得函数的定义域，函数是复合函数，外函数是增函数，再找出内函数在定义域内的增区间 即可。 【详解】由函数，可得 x24x0，求得 x0 或 x4，故函数的定义域为x|x0 或 x4 ， 令 tx24x，则 因为 是定义域内的增函数， 只需找出函数 tx24x 在定义域内的增区间 利用二次函数的性质可得 tx24x 在定义域内的增区间为（4，+） ， 故选：D 【点睛】研究函数的单调性，首先要考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是定义域内的某个区间。 对于复合函数的单调性，要综合考虑内外函数的单调性，利用“同增异减”的方法。 练习练
8、习 2.函数函数 y =log0. 5(x2-3x-10)的递增区间是的递增区间是 （ ） A(- ，-2) B(5，+ ) C(- ， ) D( ，+ ) 【答案答案】A 【解析解析】由得或. 当时，单调递减， 而,由复合函数单调性可知，在上是单调递增的， 故选 A.学_科网 点睛：复合函数单调性的判断：. 当内层函数单调递增，外层函数单调增，则单调递增； 8 当内层函数单调递减，外层函数单调减，则单调递增； 内层函数单调递减，外层函数单调增，则单调递减； 内层函数单调递增，外层函数单调减，则单调递减. 将上述判断方法简称为“同增异减”. 3.幂指对函数的定义问题幂指对函数的定义问题 例例
9、3 【2019 四川遂宁模拟四川遂宁模拟】函数函数 f(x)(a23a3)ax是指数函数，则有（是指数函数，则有（ ） Aa1 或或 a2 Ba1 Ca2 Da0 且且 a1 【答案答案】C 【分析】根据指数函数的定义得到 a23a3=1， a0 且,解出方程即可. 【解析解析】函数 f(x)(a23a3)ax是指数函数,根据指数函数的定义得到 a23a3=1，且 a0,解得 a=1 或 2，因为指数函数的底数不能为 1，故结果为 2. 故答案为：C. 【点睛】这个题目考查的是指数函数的定义，即形如，a0 且，即是指数函数，题型基础. 练习练习 1.若幂函数若幂函数的图像经过点的图像经过点，则
10、它在点，则它在点 处的切线方程是处的切线方程是( ) A B C D 【答案答案】C 【解析解析】试题分析：经过点 A的幂函数，所以 m=1，所以， 则它在点 A 的切线方程为 4x-4y+=0,故选 C 考点：本题考查幂函数以及用导数研究函数的切线 点评：解决本题的关键是掌握幂函数的定义，以及导 数的几何意义 9 练习练习 2 函数函数 2x ya 的图象经过的定点坐标是（的图象经过的定点坐标是（ ） A. 0,1 B. 2,1 C. 2,1 D. 2,0 【答案答案】C 【解析解析】由指数函数 x ya过定点0,1，令20x，2x ，则函数 2x ya 过定点2,1，故选 C. 4.幂指对
11、函数的图像问题幂指对函数的图像问题 例例 4 【沈阳沈阳 2019 模拟模拟】若函数若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是 （ ） A B C D 【答案答案】B 【解析解析】由函数的图象可知，函数3a ，则下图中对于选项 A， 3 x y 是减函 数，所以 A 错误；对于选项 B, 3 yx的图象是正确的,故选 B 考点：对数函数与幂函数的图象与性质 【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题识图问题常见类型及策略有: 1由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定 义域问题； 2由解
12、析式确定函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质（单调性、奇偶性、过 10 定点等）判断，常用排除法； 3已知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换（如平移变换、对称变换等） ，要注 意函数 yf x与函数yfx、 yf x 、 yfx、 yf x等的相互关系; 4借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函数解析式后再判断 函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征，从而作出选择 练习练习 1下图中曲线是幂函数下图中曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知在第一象限内的图象，已知 p 分别为分别为
13、，中的一个，则相应于曲线中的一个，则相应于曲线 C1、C2、C3、C4的的 p 值依次是值依次是 （ ） A-2， ，2 B，-2， 2， C2， ，-2 D2， ，-2， 【答案答案】C 【解析解析】做直线，与四个函数图象从上到下的交点依次记为 而,从而相应于曲线的 n 依次为 2， ，-2 故选 C. 练习练习 2.已知函数已知函数 f（x）=，则，则 y=f（x）的图象大致为（）的图象大致为（ ） 11 A B C D 【答案答案】A 【解析解析】由题意可得 x-1-lnx0,且 x0，令，所以 g x在（0,1）单调递减，在(1,+ )上单调递增，且 g(x)g(1)=0,即 g(x)
14、0 恒成立，所以 f(x)0,且在 （0,1）单调递增，在(1,+ )上单调递减。选 A. 【点睛】对于函数图像选择题，一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质，从整体性质到局部性质，如 本题函数的定义域与正负性，还有单调性。 5.幂指对奇偶性问题幂指对奇偶性问题 例例 5.已知函数已知函数，则，则 f x是（是（ ） A奇函数奇函数 B偶函数偶函数 C既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 D非非奇非偶函数奇非偶函数 【答案答案】D 【解析解析】要使函数有意义，需满足，即函数的定义域为2x x，函数的定义域不关 于原点对称，故 f x是非奇非偶函数，故选 D. 12 练习练习 1 “”是是“函数函数为奇函数为奇函数”的（的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案答案】B 【解析解析】 时， ，当 时， ，函数为奇函 数
