高考文科数学命题热点名师解密专题：导数与不等式的解题技巧

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1、1 专题专题 0909 导数与不等式的解题技巧导数与不等式的解题技巧 一知识点一知识点 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数常用函数的导数 (C)_(C 为常数为常数); (x)_； (x2)_； _； ( 1 1 x x) ()_ x x (2)初等函数的导数公式初等函数的导数公式 (xn)_； (sin x)_； (cos x)_； (ex)_； (ax)_； (ln x)_； (logax)_ 【详解】如图所示，直线 l 与 ylnx 相切且与 yx1 平行时，切点 P 到直线 yx1 的距离|PQ|即为所求 最小值(lnx) ，令 1，得 x1.故 P(1

2、,0)由点到直线的距离公式得|PQ|min=， 故选 C. 2 （三）构造函数证明不等式（三）构造函数证明不等式 例例 3 【山东省烟台市 2019 届高三数学试卷】已知定义在（已知定义在（，0）上的函数）上的函数 f（x） ，其导函数记为，其导函数记为 f（x） ， 若若成立，则下列正确的是（成立，则下列正确的是（ ） Af（e）e2f（1）0 B Ce2f（e）f（1）0 D 【答案答案】A 【分析】由题干知：，x1 时，2f（x）xf（x）01x0 时，2f（x） xf（x）0构造函数 g（x）=，对函数求导可得到 x1 时，g（x）0；1x0，g（x） 0，利用函数的单调性得到结果.

3、练习练习 1设设是定义在是定义在上的偶函数上的偶函数的导函数，且的导函数，且，当，当时，不等式时，不等式 恒成立，若恒成立，若，则，则的大小关系是（的大小关系是（ ） A B C D 【答案答案】D 3 【分析】 构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此 比较三个数的大小. 【解析解析】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于， 故函数在上递增.由于，故当时，当时，.所以 ，根据单 调性有.故，即，故选 D. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于 中档题. 练习练习 2.2.设函数设函数，的导函数为的导函

4、数为，且满足，且满足，则（，则（ ） A B C D不能确定不能确定与与的大小的大小 【答案答案】B 【解析解析】令 g（x）=，求出 g（x）的导数，得到函数 g（x）的单调性， 【详解】令 g（x）=， 则 g（x）=， xf（x）g（） ，即，则有 故选 B. 练习练习 3.3.定义在定义在00，+）上的函数）上的函数满足：满足：其中其中表示表示的导函的导函 数，若对任意正数数，若对任意正数都有都有，则实数，则实数 的取值范围是（的取值范围是（ ） A （0 0，44 B22，44 C （，0 0）44，+） D44，+） 【答案答案】C 【解析解析】由可得，令 ，则，利用导数可得函数在

5、区间上单调递减，从而由原不等式可得 ，解不等式可得所求范围 【详解】， ，当且仅当且，即 时两等号同时成立， “对任意正数都有”等价于“” 由可得， 令，则， 5 令， 则， 当时，单调递增；当时，单调递减 ， ， 函数在区间上单调递减， 故由可得， 整理得，解得或 实数 的取值范围是 故选 C 【点睛】本题难度较大，涉及知识点较多解题的关键有两个，一是求出的最小值，在此过 程中需要注意基本不等式中等号成立的条件，特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立；二是 结合条件中含有导函数的等式构造函数，并通过求导得到函数的单调性，最后再根据单调性将函数不等式 转化为一般不等式求解主要考查构造

6、、转化等方法在解题中的应用 （四）不等式中存在任意问题（四）不等式中存在任意问题 例例 4 【安徽省皖南八校 2019 届高三第二次（12 月)联考数学】已知函数已知函数， ，对于，对于，使得，使得，则实数，则实数 的取值范围的取值范围 6 是是 A B C D 【答案答案】D 【解析解析】，使得，可得，利用，的单调性、 最值即可求得. 【详解】对于，使得, 等价于 ， 因为是增函数，由复合函数增减性可知 在上是增函数， 所以当时， 令，则， 若时， ， 所以只需，解得. 若时， 所以只需，解得. 当时，成立. 综上，故选 D. 7 练习练习 1.1.已知函数已知函数，函数，函数（） ，若对任

7、意的，若对任意的，总存在，总存在 使得使得，则实数，则实数 的取值范围是（）的取值范围是（） A B C D 【答案答案】B 【解析解析】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可 求解. 【详解】由题意，函数的导数为， 当时，则函数为单调递增； 当时，则函数为单调递减， 即当时，函数取得极小值，且为最小值， 又由，可得函数在的值域， 由函数在递增，可得的值域， 由对于任意的，总存在，使得， 可得，即为，解得，故选 B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在 的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解

8、答的关键，着重考查了分析问题 和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 练习练习 2函数函数，若对，若对，则实数，则实数 的的 最小值是最小值是_ 【答案答案】14 8 【解析解析】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数 f（x） ，g（x）的最值，将问题转为求 f（x） ming（x）min即可 【详解】，在递减，在递增，所以 ，在单调递增，由已知对 ，可知只需 f（x）ming（x）min 即 练习练习 3已知函数已知函数，且，且，若存在，若存在，使得，使得 对任意对任意，恒成立，则恒成立，则 的取值范围是的取值范围是_ 【答案答案】 【解析解析】存在，使得对任意的，恒成立，

9、即 ，由在 上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由 ， 可求得 的范围； 【详解】的定义域为， 当时，为增函数， 所以； 若存在，使得对任意的，恒成立， 即 ， ， 当时，为减函数， ， 9 故答案为：. 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题； 或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另 一个函数。 （五）数列与不等式（五）数列与不等式 例例 5 【湖北省武汉市 2019 届 12 月高三数学试题】等差数列等差数列的前的前 项和项和，若，若 ，则下列结论正确的是（，则下列结

10、论正确的是（ ） A， B， C， D， 【答案答案】A 【解析解析】设 f（x）=x3+2 018x 判断函数的奇偶性以及函数的单调性，然后判断 a8+a2011=2，且 a2011a8，推 出结果 【详解】设 f（x）=x3+2 018x，则由 f（x）=f（x）知函数 f（x）是奇函数 由 f（x）=3x2+2 0180 知函数 f（x）=x3+2 018x 在 R 上单调递增 因为（a81）3+2 018（a81）=1， （a20111）3+2 018（a20111）=1， 所以 f（a81）=1，f（a20111）=1，得 a81=（a20111） ， 即 a8+a2011=2，且

11、a2011a8， 所以在等差数列an中，S2018=2 018=2 018=2 018 故选：A （六）极值点偏移与证明不等式（六）极值点偏移与证明不等式 10 例例 6 【福建省福州市 2018-2019 学年高三第一学期质量抽测】已知函数已知函数. （1 1）求曲线）求曲线在点在点处的切线方程；处的切线方程； （2 2）函数）函数与函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，. （）求）求 的取值范围；的取值范围； （）求证：）求证：. 【答案答案】（1）（2）（）， （）见解析 【解析解析】 （1）求出的导数，求得切线的斜率，由

12、得切点由点斜式方程可得切线的方程； （2） （）函数与函数的图像总有两个交点转化为函数 有两个零点的问题，进而研究的导数及图像即可. （）先由 （） 得的单调性，分析出、不可能在同一单调区间内；设，将导到 上，利用函数在上单调性，欲证,只需证明，结合 ，只需证明.再构造，结合单调性即可证明结 论 【详解】 （1）解：由已知得， ，又， 曲线在点处的切线方程为：. （2） （）令， ， 由得，；由得，易知，为极大值点， 又时，当 时， 11 即函数在时有负值存在，在时也有负值存在. 由题意，只需满足， 的取值范围是： （）由题意知，为函数的两个零点，由（） 知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲

13、证， 只需证明，而， 所以，只需证明. 令，则 . ，即 所以，即在上为增函数， 所以，成立. 所以，. 【点睛】 本题属于极值点偏移问题，主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、 极值，教学中的重点和难点 练习练习 1已知函数已知函数 的的极小值为极小值为. . （1 1）求）求 的值；的值； 12 （2 2）任取两个不等的正数）任取两个不等的正数，且，且，若存在正数，若存在正数，使得，使得成立，求证：成立，求证： . . 【答案答案】 （1）； （2）见解析. 【解析解析】 （1）求函数的导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论；（2）求出后把用 ，表示

14、，再把与作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最小值大于 0，从而得 到，运用同样的办法得到，最后得到要证的结论. 【详解】 （1）显然， ， 令，解得. 当时，若，为减函数； 若，为增函数,在处取得极小值， 解得 当时与题意不符，综上，. （2）由（1）知， ,，即. =. 设，则 再设，则，在上是减函数 ，即，又 ，即， , 13 同理可证得, . 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；解题的 关键亦为其难点即通过构造函数和，利用函数的单调性和极值证明 不等式，是一道难度较大的综合题型 练习练习 2已知函数已知函数，. . ()()当当时，求函数时，求函数在区间在区间上的最值；上的最值； ()()若若，是函数是函数的两个极值点，且的两个极值点，且，求证：，求证：. . 【答案答案】() 最小值为，最大值为 ； ()证明见解析。 【解析解析】 （）求出函数 f（x）的定义域，运用导函数判断函数的单调性，求解函数的最值即可 （）x1，x2是函数的两个极值点，所以 （x1） （x2）0