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1、1 专题专题 08 含参数的导数问题解题规律含参数的导数问题解题规律 一知识点一知识点 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数常用函数的导数 (C)_(C 为常数为常数); (x)_； (x2)_； _； ( 1 x) ()_ x (2)初等函数的导数公式初等函数的导数公式 (xn)_； (sin x)_； (cos x)_； (ex)_； (ax)_； (ln x)_； (logax)_ 5导数的运算法则导数的运算法则 (1)f(x)g(x)_； (2)f(x)g(x)_； (3)_ f（ （x） ） g（ （x） ） 6复合函数的导数复合函数的导数 (1)对于两
2、个函数对于两个函数 yf(u)和和 ug(x)，如果通过变量，如果通过变量 u，y 可以表示成可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数的函数，那么称这两个函数(函数函数 yf(u)和和 ug(x)的复合函数为的复合函数为 yf(g(x) （二）构造函数（二）构造函数 例例 2已知函数已知函数. 2 （1）讨论）讨论的单调性；的单调性； （2）当）当,为两个不相等的正数，证明：为两个不相等的正数，证明：. 【答案答案】 （1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区 间内为减函数； （2）见解析. 【解析解析】 (1)求出，分两种种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令求得 的范围，可得函
3、数 增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于 ，令，则原不等式也等价于即.设，利用导 数可得在区间内为增函数，从而可得结论. 【详解】 （1）函数的定义域为，. 若，则在区间内为增函数； 若，令，得.则当时，在区间内为增函数； 当时，在区间内为减函数. （2）当时，.不妨设，则原不等式等价于， 令，则原不等式也等价于即 下面证明当时，恒成立. 设，则 ， 3 故在区间内为增函数，即， 所以. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高 考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作
4、差构造函数， 利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合 已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 练习练习 1.已知函数已知函数. （1）证明）证明: f x有两个零点；有两个零点； （2）已知）已知1，若，若 0 xR,使得使得，试比较，试比较与与 0 2x的大小的大小. 【答案答案】 （1）见解析；（2）见解析. 【解析解析】试题分析：(1)在0,3上单调递减，在3,上单调递增，根据函数的最值 情况确定零点个数； (2) 由，可得： ，令t ，函数 h t在 1,上单调递增， 又在1,上
5、是增函数， 0 2 x ，即 0 2x. 试题解析： 4 （1）据题知，求导得： 令 0fx，有3x ；令 0fx，得03x，所以 f x在0,3上单调递减，在3,上单调 递增， 令1x ，有 110f ；令 2 xe，有 故 f x在1,3和3,e各有 1 个零点. f x有两个零点. （2）由，而 令t ， 则， 函数 h t在1,上单调递增，故. ， 又在1,上是增函数， 0 2 x ，即 0 2x. （三）极值点偏移（三）极值点偏移 例例 3已知函数已知函数 (其中其中 e 是自然对数的底数，是自然对数的底数，kR) 5 (1)讨论函数讨论函数的单调性；的单调性； (2)当函数当函数有
6、两个零点有两个零点时，证明：时，证明： 【答案答案】 （1）见解析；（2）见解析. 【解析解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。 （1）求导数后，根据导函数的符 号判断出函数的单调性。 （2）根据题意将证明的问题转化为证明，即 证，构造函数， 利用函数的单调性证明即可。 试题解析： （1）解： 。 当时，令，解得， 当时，单调递减； 当时，单调递增。 当时，恒成立， 函数在 R 上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增。 当时，在 R 上单调递增. （2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。 所以。 6 设函数的两个零点为， 则， 设， 解
7、得， 所以， 要证， 只需证， 设 设单调递增， 所以， 所以在区间上单调递增， 所以， 故 练习练习 1.已知函数已知函数. （1）讨论）讨论的单调性；的单调性； （2）已知）已知存在两个极值点存在两个极值点，令，令，若，若， 7 ，求，求 的取值范围的取值范围. 【答案答案】 （1）见解析； （2）. 【解析解析】 （1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间. （2）将变形为，利用韦达将其转化为关于 a 的函数，求得最值，即 可得到 的取值范围. 当时，在上，单调递增；在上，单调递减. 当时，在和上，单调递减； 在上，单调递增. （2），则， 由（1）可知，且. 则， 8 从而.
8、令，则. 因为，所以， 所以在上单调递减，则，即. 因为，即，所以， 即 的取值范围为. 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化 能力，运算能力，属于难题 （四）多变量问题（四）多变量问题 例例 4已知函数已知函数（0x） ，（mR） （）求）求 f x的单调区间；的单调区间； （）求证：）求证：1 是是 g x的唯一极小值点；的唯一极小值点； （）若存在）若存在a， 0,b，满足，满足，求，求m的取值范围的取值范围.（只需写出结论）（只需写出结论） 【答案答案】(1) 单调递增区间为 3 0, 4 ， f x的单调递减区间为 3 , 4
9、 （2）见解析（3） 3 4 me 【解析解析】试题分析：（）求出 fx， 0fx 求得x 的范围，可得函数 f x增区间， 0fx 求得x 的范围，可得函数 f x的减区间；（）先求得（0x ） ，可得 9 10g，又可证明在定义域内递增，即可证明1 是 g(x)的唯一极小值点；（）令 两函数的值域有交集即可. （） 因为 令 0fx ，得 因为0x，所以 3 4 x 当x变化时， fx， f x的变化情况如下： x 3 0, 4 3 4 3 , 4 fx0 f x极大值 故 f x的单调递增区间为 3 0, 4 ， f x的单调递减区间为 3 , 4 （）证明： （0x ） ， 设，则 1
10、0 故 gx在0,是单调递增函数， 又 10g，故方程 0gx 只有唯一实根1x 当x变化时， gx， g x的变化情况如下： x0,111, gx0 g x 极小值 故 g x在1x 时取得极小值 1gm，即 1 是 g x的唯一极小值点. （） 3 4 me （五）与（五）与三角函数有关的函数问题三角函数有关的函数问题 例例 5已知函数已知函数（0x ）. (1)若若1a ，求函数，求函数 f x的极大值；的极大值； (2)若若0, 2 x 时，恒有时，恒有 0f x 成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围 【答案答案】 （1）21k；（2）1, 【解析解析】试题分析：（1）当1a
11、 时，对其求导，判断导数与 0 的关 系，故而可得其极值；（2）对 f x求导，当1a 时，函数单调递增，不 等式成立；当1a 时，对其进行二次求导，可得 0fx 恒成立， fx单调递增，结合零点存在定理 可得 fx有唯一零点 0 x，进而可得当 0 0,xx时， f x单调递减，且，即 11 0f x 不恒成立； 试题解析：（1）1a 时，当， kN时， 0fx ， f x单调递增，当， kN时， 0fx ， f x单调递减，所以，当 时， f x取得极大值21k， kN. （2） 当10a ，即1a 时， 0fx ，所以 f x单调递增，所以； 当1a 时， 所以 fx单调递增，所以 fx
12、有唯一零点，记为 0 x，当 0 0,xx时， 0fx ， f x单调递减，且，即 0f x 不恒成立；综上所述， a的取值范围是1,. 练习练习 1.已知函数的已知函数的图象在点图象在点处的切线方程为处的切线方程为5 4 yx . (1)求求, a b的值的值 (2)求函数求函数 f x在在, 4 2 值域值域. 【答案答案】 （1）3,1；（2）. 【解析解析】试题分析：（1）求得 f x的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得, a b的方程 组，解方程即可得到所求；（2）求得 f x的导数，利用导数研究函数的单调性， 12 利用单调性即可得到函数 f x在, 4 2 值域.
13、试题解析：（1）为） ，又 ，解得3,1ab. （2）由（1）知，函数 f x在, 4 2 上 递增， 函数 f x在, 4 2 上的值域为. （六）构造函数求参数（六）构造函数求参数 例例 6设函数设函数. （1）当）当1a 时，求函时，求函数数 g x的极值；的极值； （2）设）设，对任意，对任意，都有，都有，求实数，求实数 b的取值范围的取值范围. 【答案答案】 （1）无极大值；（2） 27 2 b . 【解析解析】试题分析： (1) 当1a 时，定义域为0,，结合函数的单调性可得 ，函数没有极大值. 13 (2) 由已知，构造函数，则 G x在0,2上单调递减，分类讨论可得： 当1,2x时， 27 2 b . 当0,1x时， ,0b ， 综上，由得： 27 2 b . （2）由已知， 设，则 G x在0,2上单调递减， 当1,2x时， 所以， 整理： 14 设，则在1,
