《浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时234.8正弦定理和余弦定理应用举例夯基提能作业（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时234.8正弦定理和余弦定理应用举例夯基提能作业（含答案）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 4.84.8 正弦定理和余弦定理应用举例正弦定理和余弦定理应用举例 A A 组组 基础题组基础题组 1.如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平线,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建 筑物 CD 的张角为( ) A.30B.45C.60D.75 答案 B 依题意可得 AD=20(m),AC=30(m),又 CD=50(m),所以在ACD 中,由余弦定理得 105 cosCAD= AC2+ AD2- CD2 2ACAD = (305)2+ (2010)2- 502 2 305 2010 =. 6000 60002 2 2 又 00,所以
2、cos A= ,所以 A= . 1 2 3 (2)因为 a=,b+c=5, 10 所以由余弦定理可得 a2=10=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,可解得 bc=5, 所以 SABC= bcsin A= 5=. 1 2 1 2 3 2 53 4 11.(2018 洛阳第一次统一考试)如图,在平面四边形 ABDC 中,CAD=BAD=30. (1)若ABC=75,AB=10,且 ACBD,求 CD 的长; (2)若 BC=10,求 AC+AB 的取值范围. 解析 (1)由已知,易得ACB=45, 在ABC 中,=BC=5. 10 sin45 CB sin606 因为 ACBD,
3、所以ADB=CAD=30,CBD=ACB=45, 在ABD 中,ADB=30=BAD,所以 DB=AB=10. 在BCD 中,CD=5. CB2+ DB2- 2CBDBcos4510 - 43 (2)AC+ABBC=10, cos 60=(AB+AC)2-100=3ABAC, AB2+ AC2- 100 2ABAC 7 而 ABAC, ( AB + AC 2 ) 2 所以, (AB + AC)2- 100 3 ( AB + AC 2 ) 2 解得 AB+AC20, 故 AB+AC 的取值范围为(10,20. B B 组组 提升题组提升题组 1.地面上有两座相距 120 米的塔,在矮塔塔底望高塔
4、塔顶的仰角为 ,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为 ,且 2 在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为( ) A.50 米,100 米B.40 米,90 米 C.40 米,50 米D.30 米,40 米 答案 B 设高塔高 H 米,矮塔高 h 米,在 O 点望高塔塔顶的仰角为 . 则 tan =,tan =, H 120 2 h 120 根据三角函数的倍角公式有=, H 120 2 h 120 1 -( h 120) 2 因为在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角,所以在 O 点望矮塔塔顶的仰角为 -. 2 由 tan = ,tan= , H 60 ( 2
5、- ) h 60 得 = , H 60 60 h 联立解得 H=90,h=40. 即两座塔的高度分别为 40 米,90 米. 8 2.如图,在海中一孤岛 D 的周围有 2 个观察站 A,C,已知观察站 A 在岛 D 的正北 5 km 处,观察站 C 在岛 D 的正 西方,现在海面上有一船 B,在 A 点测得其在南偏西 60方向 4 km 处,在 C 点测得其在北偏西 30方向上,则 两观察站 A 与 C 的距离为 km. 答案 2 7 解析 如图,延长 AB 与 DC,设交点为 E,由题意可得E=30,BCE=60,EBC=90,ABC=90, 在 RtADE 中,AE=10 km, AD s
6、in30 所以 EB=AE-AB=6 km. 在 RtEBC 中,BC=BEtan 30=2 km, 3 在 RtABC 中,AC=2(km). AB2+ BC27 3.如图,一栋建筑物 AB 的高为(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地面点 3 M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A,塔顶 C 的仰角分别是 15和 60,在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30, 则通信塔 CD 的高为 m. 答案 60 9 解析 如图,在 RtABM 中,AM=20. AB sinAMB 30 - 103 sin15 30 - 103 sin(45 - 30) 30
7、- 103 6 -2 4 6 过 A 点作 CD 的垂线,垂足为 N,易知MAN=AMB=15,所以MAC=30+15=45,又AMC=180-15- 60=105,从而ACM=30.在AMC 中,由正弦定理得=,解得 MC=40.在 RtCMD 中,CD=40 MC sin45 206 sin303 sin 60=60,故通信塔 CD 的高为 60 m. 3 4.如图,在一条海防警戒线上的点 A、B、C 处各有一个水声监测点,B、C 两点到 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米,某时刻,B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号,8 秒后 A、C 同时接收到该声波信号,已知声波在水中的
8、传播速度是 1.5 千米/秒. (1)设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B、C 到 P 的距离,并求 x 的值; (2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离. 解析 (1)依题意,有 PA=PC=x 千米,PB=x-1.58=(x-12)千米. 在PAB 中,AB=20 千米, cosPAB=, PA2+ AB2- PB2 2PAAB x2+ 202- (x - 12)2 2x20 3x + 32 5x 在PAC 中,AC=50 千米, cosPAC= . PA2+ AC2- PC2 2PAAC x2+ 502- x2 2x50 25 x cosPAB=cosPAC, = ,解得
9、 x=31(负值舍去). 3x + 32 5x 25 x 10 (2)作 PDAC 于点 D(图略), 在ADP 中,由(1)可知 cosPAD= , 25 31 则 sinPAD=, 1 - cos2PAD 421 31 PD=PAsinPAD=31=4千米. 421 3121 故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 4 千米. 21 5.某港湾的平面示意图如图所示,O,A 和 B 分别是海岸线 l1和 l2上的三个集镇,A 位于 O 的正南方向 6 km 处, B 位于 O 的北偏东 60方向 10 km 处. (1)求集镇 A,B 间的距离; (2)随着经济的发展,为缓解集镇 O
10、的交通压力,拟在海岸线 l1,l2上分别修建码头 M,N,开辟水上航线,勘测时 发现:以 O 为圆心,3 km 为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行,请确定码头 M,N 的位置,使得 M,N 之间 的直线航距最短. 解析 (1)在ABO 中,OA=6,OB=10,AOB=120,根据余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2OAOBcos 120 =62+102-2610=196,所以 AB=14,故集镇 A,B 间的距离为 14 km. ( - 1 2) (2)依题意得,直线 MN 必与圆 O 相切, 设切点为 C,连接 OC(图略),则 OCMN. 设 OM=x,ON=y,MN=c, 在OMN 中,由 MNOC= OMONsin 120, 1 2 1 2 11 得 3c= xysin 120,即 xy=2c, 1 2 1 23 由余弦定理,得 c2=x2+y2-2xycos 120=x2+y2+xy3xy,所以 c26c,解得 c6. 33 当且仅当 x=y=6 时,c 取得最小值 6. 3 所以码头 M,N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时,M,N 之间的直线航距最短,最短距离为 6 km. 3
