安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题（解析版）

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1、1 合肥市合肥市 20192019 年高三第二次教学质量检测年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）数学试题（理科） 注意事项：注意事项： 1.1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. . 2.2. 答第答第卷时，每小题选出答案后，用卷时，每小题选出答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. .如需改如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. . 3.3.答第答第卷时，必须使用卷

2、时，必须使用 0.50.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清 晰晰. .作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用 0.50.5 毫米的黑色墨水签字笔描清毫米的黑色墨水签字笔描清 楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上 答题无效答题无效. . 一、选择题一、选择题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四

3、个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.设复数 满足，则 在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 先对复数 进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案。 【详解】由题意，故 在复平面内对应点为，在第一象限，故 选 A. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题。 2.若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出集合 ，然后与集合 取交集即可。 【详解】由题意，则，故答案 为 C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考

4、查了计算能力，属于基础题。 2 3.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线的渐近线为，可得到，又点在双曲线上，可得到 ，联立可求出双曲线的方程。 【详解】双曲线的渐近线为，则， 又点在双曲线上，则，解得，故双曲线方程为，故答案为 C. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的方程的求法，考查了计算能力，属于基础题。 4.在中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在上分别取点,使得, 可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案。 【详解】如下图，在上分别取点,使得, 则

5、为平行四边形，故,故答案为 B. 3 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题。 5.下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类冰箱类小家电类其它类 营业收入占比 净利润占比 则下列判断中不正确的是（ ） A. 该公司 2018 年度冰箱类电器营销亏损 B. 该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B 【解析】 【分析】 结合表中数据，对选项逐个分析即

6、可得到答案。 【详解】因为冰箱类电器净利润占比为负的，所以选项 A 正确；因为营业收入-成本=净利润，该公司 2018 年度小家电类电器营业收入占比和净利润占比相同，而分母不同，所以该公司 2018 年度小家电类电器营业 收入和净利润不可能相同，故选项 B 错误；由于小家电类和其它类的净利润占比很低，冰箱类的净利润是 负值，而空调类净利润占比达到，故该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供，即选项 C 正确；因为该公司 2018 年度空调类电器销售净利润不变，而剔除冰箱类电器销售数据后，总利润变大，故 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低，即选项 D 正确。 故答案为 B

7、. 【点睛】本题考查了统计表格的识别，比例关系的判断，实际问题的解决，属于基础题。 6.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到函数的图象，则下 4 列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的周期是 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上最大值是 1 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的表达式，然后结合选项分别判断它的对称中心，周期，单调性，是否有最值，即可得到答案。 【详解】将函数横坐标缩短到原来的 后，得到，当时，即 函数的图象关于点对称，故选项 A 错误；周期，故选项 B 错误；当时， ，所以函数在上单调递增，故选项 C 正确；因为函数在上单调递增

8、，所以 ，即函数在上没有最大值，故选项 D 错误。 故答案为 C. 【点睛】本题考查了三角函数的伸缩变换，考查了三角函数的周期、对称中心、单调性及最值，考查了学生 对基础知识的掌握情况。 7.已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为 ，上顶点为 ，以线段为直径的圆 交线段的延长线于点 ，若，则该椭圆离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由点 在以线段为直径的圆上，可知，再由，可得 ，且是等腰直角 三角形，结合，所以，可求出离心率。 【详解】因为点 在以线段为 直径的圆上，所以， 又因为，所以，又因为，所以是等腰直角三角形， 因为，所以， ， 5 所以该椭圆的离心率

9、【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了离心率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。 8.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务 必须排在前三项执行，且执行任务 之后 需立即执行任务 ；任务 、任务 不能相邻.则不同的执行方案共有（ ） A. 36 种B. 44 种C. 48 种D. 54 种 【答案】B 【解析】 【分析】 分三种情况，任务 A 排在第一位时，E 排在第二位，任务 A 排在第二位时，E 排在第三位，任务 A 排在第三 位时，E 排在第四位，结合任务 B 和 C 不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案。 【详解】六项不同的任务分别为 A、B、

10、C、D、E、F， 如果任务 A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好 B、C，再在 B、C 之间的 3 个空位中插 入 D、F，此时共有排列方法：； 如果任务 A 排在第二位时，E 排在第三位，则 B，C 可能分别在 A、E 的两侧，排列方法有，可 能都在 A、E 的右侧，排列方法有； 如果任务 A 排在第三位时，E 排在第四位，则 B，C 分别在 A、E 的两侧； 所以不同的执行方案共有种 【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题。 9.函数的图象大致为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断函数为偶函数，然后通过构

11、造函数，可判断是单调递增函数， 从而可得到时，即可判断时，从而可确 定在上单调递增，即可得到答案。 【详解】因为，所以为偶函数，选项 B 错误， ，令，则恒成立，所以是单调递增函数， 则当时， 故时，, 即在上单调递增，故只有选项 A 正确。 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题。 10.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A. 2 对B. 3 对 C. 4 对D. 5 对 【答案】C 【解析】 【分析】 画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面， 平面平面，从而可选出答案。 7 【详

12、解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面， 作 POAD 于 O，则有 PO平面 ABCD，POCD， 又 ADCD，所以，CD平面 PAD， 所以平面平面， 同理可证：平面平面， 由三视图可知：POAOOD，所以，APPD，又 APCD， 所以，AP平面 PCD，所以，平面平面， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有 4 对 【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题。 11.“垛积术” （隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰 丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三

13、角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所 示的“菱草垛”：自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上一层多 1 件，最后一层是 件.已知第一层货物单 价 1 万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则 的值为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 8 由题意，第一层货物总价为 1 万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元， 第 层货物总价为万元，可设这堆货物总价为万元，从而可得到 ，利用错位相减法可求出的表达式，结合可 求出答案。 【详解】由题意，第一层货物总价为 1 万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万 元，第 层货

14、物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则 ， ， 两式相减得 ， 则, 解得， 故选 D. 【点睛】利用错位相减求和是解决本题的关键，考查了学生利用数列知识解决应用问题的能力，属于中档题。 12.函数在内有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，则在内有两个零点，即函数与的图象在 内有两个交点，易知函数是增函数，可求出它在时的切线斜率，及时的坐 标，从而可知时，即满足题意，结合两个函数的对称性，可推出当， 9 ，从而可得到答案。 【详解】由题意，设，则在内有两个零点， 即在内有两个解， 则函数与的图象在内有两个交点， ，即在 R 上单调递

15、增， 又，故是奇函数，可画出的图象（如下图） ， 显然函数是偶函数， 当时，可作出的图象，显然是两个函数图象的一个交点， ，当时，故， 即当时， 同理，当，可得， 当时，显然不满足题意， 故综上，或时，在内有两个解， 即函数在内有两个零点。 故答案为 D. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了导数的应用，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属 10 于难题。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题小题. .把答案填在答题卡上相应的位置把答案填在答题卡上相应的位置. . 13.设等差数列的前 项和为，若，则数列的公差_ 【答案】2 【解析】 【分析】 利用等差数列的性质，

16、可得到，即可求出公差。 【详解】由题意，解得. 故. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了计算能力，属于基础题。 14.若，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由，而，代入计算即可得到答案。 【详解】，则. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，及三角函数诱导公式的运用，考查了学生的计算求解能力，属于 基础题。 15.若，则的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由基本不等式，可得到，然后利用 ，可得到最小值，要注意等号取得的条件。 【详解】由题意，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时取等号， 11 所以当时，取得最小值 【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件： 各项都是正数； 和（或积）为定值； 等号取得的条件。 16.已知半径为 4 的球面上有两点 ， ，球心为 ，若球面上的动点 满足二面角的大小 为，则四面体的外接球的半径为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设所在截面圆的圆心为，中点