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1、第一章 随机事件及概率1、这6个数字选出5个来排列的方法有种，首位为0的有种，而首位不能为0的为:.2、任取5件，其中有4件正品与一件次品的取法为： .3、证明： 4、A表示任取3件中有一件为次品事件，50件中任取3件的取法为，而有一件为次品的取法为，.5、(1)任取四球都是白球的取法有，而任取四球的取法有，因此任取四球都是白球的概率为： (2)任取6球恰好3白2红1黑的概率为：.6、(1)每个盒子都放有的方法有，而总共的放法有，因此没有一个空盒子的概率为; (2)至少有一个空盒子的概率为.7、由题知：且，如下图所示：x11 oABy阴影部分为符合条件的点，其面积，此事件的概率为：8、如下图所
2、示：x11 oABy由题意可知所求的概率为：9、(1)取得2个红球的可能有，而总共的取法为，所以两次取得都是红球的概率为；(2)两次中一次取得红球，另一次取得白球的方法有，而总共的取法为，因此此事件的概率为；(3)因为两次取得红球的概率由(1)知为，因此其对立事件即至少一次取得白球的概率为；(4)设表示第一次取得白球事件，表示第二次取得白球事件；显然这两事件是对立的，即，至少一次取得白球事件为，根据概率性质有： 而由题知，两次取得白球的概率为，代入上等式有.10、设表示此密码被译出的事件，表示甲译出事件，表示乙译出事件，表示丙译出事件，表示一个人译出事件，表示只有两人译出事件，表示3个人译出事
3、件，显然，相互独立。由题知：同理 根据全概率公式有：11、(1)设顾客买下该箱事件为，表示取得一箱中没有次品事件，表示取一箱有一件次品事件，表示取一箱中有两件次品事件；显然、为相互独立事件， 而，根据全概率事件：；(2)在顾客买下该箱中，确实没有残次品的概率为-12、设为中靶事件，为选中未校正过事件，为选中校正过枪支事件，则,13、设为飞机坠落事件，为击中一次事件，为击中两次事件，为击中3此事件；表示被第此击中事件，显然为相互独立事件。而，因此根据全概率公式有14、(1)击中3次的概率为 (2)因为每次击中的概率为，而至少有一次未击中是其对立事件，因此至少有一次击中的概率为15、考虑其对立事件
4、：即少于3台车床发生故障的概率，没有一台发生故障的概率为，一台发生故障的概率为，两台发生故障的概率为，因此在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率为16、第一问：考虑其对立事件：0台、1台发生故障的概率分别为：；因此设备发生故障而得不到及时处理的概率为；同理第二问中所求概率为：第二章 随机变量及其分布1，设Z表示取出次品的个数，“”表示取出0个次品事件；因为15只零件中有2只次品，取3次且每次都不放回取到0件次品的概率为：，即；同理有：，；因此Z的分布律为：（如下图所示）120XP2,设Z表示3个零件中合格品的个数，“”表示取出0个合格品事件，表示第i个零件为不合格品事件（i=1，2，3），
5、显然，为相互独立事件。由题意知：，因此，同理： ，所以Z的分布列为：1230XP3，设Z表示该汽车首次遇红灯前已经通过的路口的个数，过第一个路口就遇到红灯的概率为：，同理有：，所以Z概率分布列为：1230XP4，X的分布列为：XP012n-1n5，由题意知Z的分布函数为：6，(1)，从而得到， (2)，当时，；当时，；当时，；因此Z的分布函数7，当时有：； 当时有： 因此X的分布函数为: 8，(1)是处处右连续的，； (2)； (3)9，(1)最初150小时电子管烧坏的概率为：；因此至少有两电子管被烧坏的概率为： (2)Y表示在使用最初150小时内烧坏的个数，则:因此电子管数Y的分布列为：12
6、30YP (3)，Y的分布函数为： 10，设=k表示观测值不大于0.1的次数为k，而，因此随机变量的概率分布为： 11，因为要使方程有实根，则其判别式，得；又因为X服从分布，所以12，设A表示观测值大于3的事件，B表示A发生的次数，依题意得： 13，(1)因为，所以，； (2)Y是表示10分钟内等不到的次数，则 14，(1)查表知，所以； (2)， ，因为，所以15，因为，即 ，查表知：， 16，误差的绝对值不超过30米的概率为：，所以误差超过30米的概率为：，所以三次误差绝对值都超过30米的概率为，因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30米的概率为： 17，(1)根据题知：；当时，当时，
7、当时，； (2)X取负值的概率为：18，由题知，0.288 0.064P0.2160.432X 0 1 2 3 0 1 4 9 0 0 1 0 1 1 0(1)故的分布列为：1490P0.2160.4320.2880.064(2)的分布列为：01P0.4320.5040.064(3)的分布列为：10P0.280.7219，由得，显然有且，根据定理有：，(1)当时，即时有,(2)当时，即时有,由(1),(2)得：20，(1)因为等式两边对求导得：，由得， ， (2) (显然才有可能) 两边对进行求导得：，因此的概率密度为：；(3) ，两边对求导得：，因此的概率密度为：习题三1. 箱子里装有12只
8、开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X，Y为 试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律.解：先考虑放回抽样的情况：则此种情况下，X与Y的联合分布律为 XY 0 1 01 再考虑不放回抽样的情况 XY 0 1 01 2. 将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律.解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为，可知 XY 0 1 2 3 03 0 0 0 1 3. 把三个球随机地投入三个盒
9、子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为0，1，2，3；则， ，则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为 XY 0 1 2 3 0123 0 0 0 0 0 0 1 4. 设(X,Y)的概率密度为 求：（1） P(x,y)D, 其中D=(x,y)|x1,y3;（2） P(x,y)D, 其中D=(x,y)|x+y3.解：（1） D=(x,y)|x1,y3（2） D=(x,y)|x+y35. 设(X,Y)的概率密度为 求：（
10、1） 系数c；（2） (X,Y)落在圆内的概率.解：（1） 由，得，可求得（2） 设，则6. 已知随机变量X和Y的联合概率密度为求X和Y的联合分布函数.解：随机变量X和Y的联合概率密度为当x0,或y0时，F(x,y)=0;当时，当时，当时，当时， 综上可得，X和Y的联合分布函数为7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 （1） 求常数k；（2） 求 P0x2,1y3;（3） 求X,Y的边缘概率密度；（4） 判断X与Y是否相互独立.解：（1） 由概率密度的性质有 即 ，有 (2) (3) X的边缘概率密度为当0x6时，当x0或x6时，显然有Y的边缘概率密度为当0y6时，当y0或x6时，显然有(4) X与Y不相互独立.8已知随机变量X1和X2的概率分布为 X1-1 0 1 P X20 1 而且PX1X2=0=1. (1) 求X1和X2的联合分布； (2) 问X1和X2是否独立？为什么？解：由,可知必然成立.由得同理可得：，而综上可得，和的联合分布为 X1X2 -1 0 1 01 0
