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1、数学大观4 代数几何 熔一炉,李尚志 北京航空航天大学,润物细无声：应用案例 子空间概念的应用,空间与向量,两把尺子量天下 走遍天涯海角 三把尺子量乾坤 可上九天揽月 可下五洋捉鳖,概念的引入：随风潜入夜 一、方程组的解法,加减消去法方程的线性组合 原方程组的解是新方程的解 是否“增根”？ 方程组的等价变形 初等变换 高斯消去法 只用到系数的运算 行向量表示方程数组向量 矩阵表示方程组矩阵的初等变换 只用到系数的加减乘除数域,二、线性相关与线性无关,例1. 方程个数的真与假 方程组 有几个方程？,某个方程是其余方程的线性组合 线性相关,例 如下向量 a，b，g 是否共面?,(1) a = (1
2、,1,1); b = (2,1,5); g = (3,2,6).,(2) a = (1,1,1); b = (2,1,5); g = (1,-3,13).,(3) a = (1,1,1); b = (2,1,5); g = (1,-3,6).,有解 l1 = - 7, l2 = 4, -7a+4b = g, 共面。,解 (1) 易见 a + b = g , 共面 .,(2) 方程,(3) = (1,1,1); b = (2,1,5); g = (1,-3,6). 方程组 l1 a + l2 b = g 无解。 还需解 l1 a+ l3 g = b, 仍无解。 还需解 l2 b + l3 g =
3、 a, 仍无解。 解三个方程太繁琐！ 只须解一个方程 l1 a+ l2 b+ l3 g = 0 有(无)非零解线性相(无)关,方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性组合） 删去多余的方程 - 打假 将打假进行到底 极大线性无关组 剩下的方程的个数- 秩rank,极大线性无关组，秩,秩的唯一性,方程组(A1 , A2 , A3) 与(B1 , B2) 互为线性组合 A1= a11B1+a12 B2 A2=a21B1+a22B2 A3=a31B1+a32 B2 x1 A1+x2 A2+ x3 A3 = 0 : (a11x1+a21x2+a31x3)B1+(a12x1+a22x2+a32x3
4、)B2 = 0 未知数个数方程个数 有非零解 (x1,x2,x3) A1 , A2 , A3 线性相关. 方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘且满足运算律,证明仍成立 抽象向量空间,例. 求方程的实数解：,解:令,则 u + v = w -7u2+ 4v2 = w2 = (u+v)2 -8u2-2uv+3v2 = 0 , (v-2u)(3v+4u) = 0,三、行列式的定义,（一）二元一次方程组的几何意义 写成,1、有唯一解条件: 不共线, 2、消元: 两边与 作内积消去 y,2019/4/5,3、二阶行列式 : 平行四边形面积,= 平行四边形 OAPB 有向面积 = = 记为 或 或,4
5、、 代数算法：,三阶行列式,(2.1),这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下 i,j,k 两两不相等的项。(2.1) 变成,当 i,j,k 中有两个相等时，,代入(2.2), 得,又,类似地有,(2.2),我们有,类似地有,n 阶行列式,(3.1),当 i1,i2,in 中有两个相等时，,这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,n 的全体排列 (i1,i2, in ) 求和, 成为:,将排列 中任意两个数 相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式 中的 互换了位置，其值变为原来值的相反数 。 进行若干次
6、对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12n), 相应地将 变成,(3.2),以下只须对每个排列 求,可以证明, 的值由排列 唯一决定, 我们将 记为 sgn 。则,sgn,代入(3.3) 得到,(3.3),于是得,这可以作为 n 阶行列式的定义。,(3.4),2019/4/5,行列式应用例: 隐函数存在定理 F(x,y) 在某点P0可微 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)? 一般F不好解决凌波微步 线性化: aDx+bDy 0, y=f(x) 在 x0 可微,导数为,2019/4/5,可微函数 n 个方程 =0 , 线性化 即 当 det B 时有唯一解,隐映射定理,20
7、19/4/5,Z2 上的行列式与可逆阵 随机地给定n2个整数行列式 |A|. |A| 为奇数和偶数的概率各是多少? |A|=奇数 A 是 Z2 上可逆方阵 各行线性无关. 第一行: 2n-1 种取法 第二行: 2n-2中取法 第k行: 2n-2k-1种取法. 为奇概率=(1-1/2n)(1-1/2),数学聊斋,之二 指鹿为马之幼儿版,博比: 长颈鹿 马马 老虎 猫咪 狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸 纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少3位) 原码: 010011101011传输 错码: 010010101011纠错 最接近的合法码,2019/4/5,纠错码的原理 构造纠错码-Z2上的线性方程组 系
8、数矩阵 ( 0 0 0 1 1 1 1) ( 0 1 1 0 0 1 1) ( 1 0 1 0 1 0 1) 解空间的维数 7-3 =4 . 码数 24 =16,例 1 在平面上建立直角坐标系. 将平面上每个点P绕原点 向逆时针方向旋转角到点P. 写出点P的坐标(x,y)与点P的 坐标(x,y)之间的函数关系式.,矩阵乘法与线性变换,解 设 |OP|=r, XOP = q. 则 x=rcos, y=rsin. |OP|=|OP|=r, XOP = q +a . x= rcos( q +a ) = rcos q cos a - rsinq sina = xcosa - ysina y= rsin
9、(+) = rcossin+rsincos = xsin+ ycos,复数乘法的几何意义,退步再退步,负加负更负. 后转两次转向前,负负为正很显然 平方得负岂荒唐,左转两番朝后方 i =左转90o, i2= 1 (cos 45o+i sin 45o)2 = i (cos a+i sin a)n=cos na+i sin na . (棣美弗公式),单位根,zn =1=旋转 2kp z =旋转2kp/n = cos(2kp/n)+i sin(2kp/n) n次单位根集合 =1,w,w2, , wn-1 w= cos(2p/n)+i sin(2p/n),单位根的乘法群,15次单位根集合U15=1,w
10、,w2,w14 wawb = wa+b = wa+b-15m (wa)-1= w-a = w15-a f :Z U15, a wa wa = wb ab (mod 15). 将Z分成同余类, 则 s: Z15U15 , s(a+b)=s(a)s(b), s(0)=1, s(-a) =s(a)-1 加法群 (Z15,+) 乘法群 (U15, ).,x15-1在有理数范围内分解,复数范围 x15-1 = (x-1)(x- w)(x- w14) 每个根 wk 有最小正整数d使wkd=1 15=qd+r, wr=w15/wdq=1r=0d|15 d=1, 根 1, 因式 F1(x)=x-1 d=3,
11、因式F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1 d=5, F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1 d=15, F15(x)=(x15-1)/(x3-1)/F5(x) =(x12+x9+x6+x3+1)/(x4+x3+x2+x+1),2019/4/5,数学实验 线性变换前后的图形,2019/4/5,向量方向的变化,2019/4/5,选取特征向量为基,应用案例. 足球队排名,根据足球比赛成绩给出各队实力名次 X1 Xj Xn X1 a1j a1n Xi ai1 aij ain Xn an1 anj ain,根据对手实力对得分加权,先验实力比： x1 xj xn y1
12、 = a11x1 + + a1j xj + +a1nxn yi = a11x1 + + a1j xj + + a1nxn Xn an1 anj ain,网上资源,http:/ 精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) http:/ 线性代数 2006 教育部 高等数学 2008 教育部(郑志明) 博客: http:/ 李尚志,已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用), 高等教育出版社,2006.5,2019/4/5,星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换, 能伸能屈是几何。,矩阵与变换,精品课程网页 http:/,参考文献,线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2006. 让抽象变得自然-建设国家精品课程的体会, 中国大学教学, 2006年第7期 线性代数精彩应用案例(之一),(之二),大学数学, 2006年第3,4期 若当标准形的计算,大学数学,2006年第5期 从问题出发引入线性代数概念,高等数学研究, 2006年第5期,第6期 凌波微步让微积分易懂易算,2008年第3期,谢谢 ！,The End,再见,
