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1、数学大观3 凌波微步 微积分,李尚志 北京航空航天大学,一元微积分,物理：以匀速代替非匀速 几何：以直代曲（只能看不能算） 代数：以线性代替非线性 例. 自由落体 x = 4.9 t2 . 求t 秒末的速度. 解： x(t+Dt)=4.9(t+Dt)2 =4.9 t2 +9.8t(Dt)+4.9(Dt)2 线性化： x(t+Dt) 4.9 t2 +9.8t(Dt) 误差4.9(Dt)2 : Dt 的无穷小倍 = o(Dt). 速度vt= 一次项系数 9.8 = 导数,几何:以直代曲,抛物线 x = 4.9(t + Dt)2 在点(t, 4.9t2)附近 被切线 x = 4.9t2 + 9.8D
2、t 近似代替 速度v1 =切线斜率 此几何意义与 x,t 的物理意义无关 可以推广到别的 函数 y = f(x),Dt,Dx,t,x,微分与导数,函数 y = f(x) 在 x=a 附近线性化。 函数增量 Dy = f(x)-f(a),自变量增量Dx=x-a Dy k Dx ， 误差:DykDx = o(Dx) 微分: dy = kDx 导数: = k,记为 f (a) =变化率=切线斜率. 一次函数代替 f(x): y=f(x) f(a) + f (a) Dx,x,Dx,Dy,y,假作真时貌似真,极限： f(x) A 即: f(x)=A+q,q无穷小(0). 若 f(x)A, g(x)B f
3、(x)g(x)= (A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2 AB 无穷小的代数性质 (同济. 用 e-d语言证明.) 可以将 q1, q2看成 0，略去不写 写 f(x) A, g(x) B, 像等式一样加、减、乘 得到 f(x) g(x) A B, f(x)g(x) AB 即f(x) g(x) A B, f(x)g(x) AB . 被忽略的元素集合=无穷小= O(Dx) 微分：Dydy （mod o(Dx) f(x) f(a)+f (a)Dx（mod o(Dx),多项式的导数,. 多项式 f(x)=anxn +a1x+a0 的导数: 差分D f(x) = f(x+ t ) f
4、(x)=(nanxn-1+a1)t +()t2 是 t 的多项式, 其中t 的一次项系数即 f (x) =nanxn-1+a1,和差积商的导数公式,f(x) f(a) + f(a) Dx g(x) g(a) +g(a) Dx 两式相加减 和差的导数 相乘乘积的导数 f(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)+g(a)f(a) Dx 倒数的导数:,微积分基本概念（二） - 定积分,速度 v(t) 路程 s(t) 路程 = 速度* 时间 速度变化怎么办? 分段计算: Dsi = v(ti)* Dti 各段相加：s = Si Dsi, Dti 0,微积分基本概念（三） - 微积分基本定
5、理,飞檐走壁之电影实现 s(t) = kt2 v(t) = 2kt v(t) = 2kt s(t) = ? a = a v = v0 + at s = v0t + at2,2019/4/5,球面镜的反射,2019/4/5,球面镜的反射 正确的聚光镜 形状,2019/4/5, 的计算,想一想：怎样算 ？ 当一回祖冲之！,2019/4/5,圆的面积,无穷级数法,arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-. /4 = arctan 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9- 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 /4 = arctan 1/2 + arctan
6、1/3 /4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239,2019/4/5,蒙特卡罗法,2019/4/5,寻优,光的折射定律 光在同一种介质中走最短路线（直线），聪明！ 从一种介质进入另一种介质发生折射，傻了？,2019/4/5,设光在两种介质中的速度比为 u，两介质分界线为直线。从第一介质的A点到第二介质的B点，走怎样的路线时间最短？,问题：,2019/4/5,最速降线,重力场中高度不同的两点A，B。 在A静止的质点沿怎样的路径下滑到B点，时间最少？,2019/4/5,寻找最速降线,求T=f(y1,y2,yn-1 )的最小值点(y1,y2,yn-1) 。 用光滑曲线连接点Pi 等时曲线,2019/4/5,最速降线的形状,谢谢 ！,
