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1、2003南开大学年数学分析一、 设其中有二阶连续偏导数，求解：令u=x+y,v=x-y,z=x则；二、 设数列非负单增且，证明解：因为an非负单增，故有由；据两边夹定理有极限成立。三、 设试确定的取值范围，使f(x)分别满足：（1） 极限存在（2） f(x)在x=0连续（3） f(x)在x=0可导解：（1）因为=极限存在则2+知(2)因为=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则（3）所以要使f(x)在0可导则四、设f(x)在R连续，证明积分与积分路径无关解；令U=则=又f(x)在R上连续故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路）五、 设f(x)
2、在a,b上可导，且,证明证：因f(x)在a,b可导，则由拉格朗日中值定理，存在即有六、设单减而且收敛于0。发散a) 证明b) 证明其中；证：（1）因为而单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知（2）因为正项级数发散则又由上题知故有七、设证明（1）在一致收敛（2） 在连续证：（1）因收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t=0上一致收敛；又在x=1,t=0单调且一致有界由阿贝尔判别法知一致收敛（2）由上题知，F（t）在一致收敛，且由在（x,t）上连续知F（t）在连续所以在连续，由的任意性得证八、令是a,b上定义的函数列，满足（1）对任意是一个有界数列（2）对任意，存在一个求证存在一个子序列在a,b上一致收
3、敛证：对任意，是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为，又令U=则U为a,b的一个开覆盖集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖a,b，不妨设为于是对0，有令则由条件（2）知对上述于是+由柯西准则得证。2004年南开大学数学分析试题答案1. 2. ,=3.即证明，即证设，证完。4.= 5.设P=，Q=，积分与路径无关，则6. ,又当时，收敛，当时，级数发散，原题得证7.由拉格朗日定理，其中，原题得证8.（1）应用数学归纳法，当时命题成立，若当时命题也成立，则当时，由归纳假设连续。（2）（3）由单调递减趋于，与都连续，由地尼定理，该收敛为一致收敛。9.(1)证明：取，代入式中得，即，所以
4、函数单调递增有下界，从而存在右极限，则；，由题设可得，即从而，所以导函数递增。(2)参考实变函数的有关教材。2005年南开大学数学分析试题答案2.，其中由 求出3.4.在上单调一致趋于0，则在上一致收敛，又在上连续，则在上连续。5.由泰勒公式，则，后者收敛，则原级数收敛。6.由拉格朗日中值定理，后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。由一致收敛，则可以逐项求导，也一致收敛且连续，故连续可导7.反证：设存在有，不妨设，由连续函数的局部保号性，知道存在一个邻域当时，则存在一个圆周与已知矛盾。8.当时，时，综上，若对任意的有，则在时，不存在，矛盾。设当时，当时，两边对积分即可6. ，由在上有定义
5、，则在上有界，则可以得到在上连续。，则，则 则单调递增有下界，存在右极限，存在，同理存在，由极限的保不等式性可得2003年中国科学院数学研究院数学分析试题答案1. （1）当时，当时，当时，当时，（2）当时，=（3）当时，当时，当时，当时，2. 当时， ，从而连续；当时，存在；当时， ,3.即证：，当时，设，所以，当时，设，所以，4. 5.假设存在常数M，积分矛盾6.作代换=7.椭球面的切向量为，切点为和8. 当时，相加：令，所以9由含参量积分的性质，科院2006年数学分析试题参考解答1求a,b使下列函数在x=0处可导:解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由得到b=1;又由得到a=0.即得。2
6、 证明: 用反证法。 由知，均为正项级数。假设级数收敛，则，于是有，从而由正项级数的比较判别法知级数收敛，矛盾，从而得证。3 解：从而即得解。（利用余元公式、换元、函数更为简单）4 证明：知,从而令有从而得证。 5证明: 6 证明: 我们先来证明一个不等式，一般的称为Cauchy-Schwarz不等式，即定理1 7 证明：8 设曲线的周长和所围成的面积分别为L和S，还令，则.证明：由对称性知9 解： 为证明=I，我们先来证明一个定理：定理2 设在|x|R内收敛，若也收敛，则 回到题目，看数项级数收敛，设=，|x|0,b0,证明：。证明：二、 设f(x)为a,b上的有界可测函数，且证明：f(x)
7、在a,b上几乎处处为0。证明：反证法，假设A=x|f(x)0，那么mA0。三、 设函数f(x)在开区间（0，+）内连续且有界，是讨论f(x)在（0，+）内的一致连续性。讨论：非一致连续，构造函数：四、 设，讨论函数的连续性和可微性。解：1）连续性：连续2）可微性：可微五、 设f(x)在（a,b）内二次可微，求证：证明：六、 f(x)在R上二次可导，证明：f(x)在R上恰有两个零点。证明：七、 设函数f(x)和g(x)在a,b内可积，证明:对a,b内任意分割证明：八、 求级数：解：九、 讨论函数项级数在(0,1)和(1,+)的一致收敛性讨论：1） 0x1十、 计算为圆锥曲面被平面z=0,z=2所
8、截部分的外侧。解：十一、设f(x)在0,1上单调增加,f(0)=0,f(1)=1,证明：证明：十二、设f(x)在0,+上连续，绝对收敛，证明：证明：十三、设，证明：当下极限时，级数收敛当上极限时，级数发散证明：（1）（2）苏州大学2004年数学分析解答1.(20)2.(20)05苏州大学8.(18分)设在上二次连续可微(其中),且在处的梯度,Hesse矩阵Q=为正定矩阵.证明：在处取到极小值；若是Q的最大特征值，是Q对应于的特征向量，则从处沿着方向增长浙江师范大学2005年研究生一（每小题8分，共48分）计算题1、 求极限 .解 原式 3分 5分 8分2、 求级数 的和.解 作，则 2分作，则 因此 5分于是 ，原式 8分3、 求级数 的和. 解 因，故 2分为了求，作， 4分则 5分 6分因此，原式 8分4、求的值.解 原式 4分 8分5、 求极限 解 因的周期为，
