线代知识总结

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1、线代知识整理 LB 制作 1 线性代数知识点总结线性代数知识点总结 目录目录 第一章 行列式 2 第一节：二阶与三阶行列式 . 2 第二节：全排列及其逆序数 . 2 第三节：n 阶行列式的定义 3 第四节：对换 . 4 第五节：行列式的性质 . 5 第六节 行列式按行（列）展开 6 第七节 克拉默法则 . 7 第二章 矩阵 8 第一节：矩阵 . 8 第二节：矩阵的运算 . 8 第三节：逆矩阵 . 11 第四节：矩阵分块法 . 13 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 15 第一节：矩阵的初等变换 . 15 第二节：矩阵的秩 . 16 第三节：线性方程组的解 . 18 第四章 向量组的线性相关性

2、 19 第一节：向量组及其线性组合 . 19 第二节：向量组的线性相关性 . 21 线代知识整理 LB 制作 2 第一章第一章 行列式行列式 第一节：第一节：二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 1、把表达式 11221221 a aa a称为 1112 2122 aa aa 所确定的二阶行列式，并记作 1112 2112 aa aa ， 即 1112 11221221 2122 . aa Da aa a aa 结果为一个数。 同理，把表达式 1122331223311321 321123321221 33132231, a a aa a aa a aa a aa a aa a a称为 由数表 1

3、11213 212223 313233 aaa aaa aaa 所确定的三阶行列式，记作 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 。 即 111213 212223 313233 aaa aaa aaa = 1122331223311321 321123321221 33132231, a a aa a aa a aa a aa a aa a a 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 2、利用行列式计算二元方程组和三元方程组： 对二元方程组 11 11221 21 12222 a xa xb a xa xb

4、设 1112 2122 0 aa D aa 112 1 222 ba D ba 111 2 212 . ab D ab 则 112 222 1 1 1112 2122 ba baD x aaD aa ， 111 212 2 2 1112 2122 . ab abD x aaD aa 注意：以上规律注意：以上规律还能还能推广到推广到 n 元线性方程组的求解上。元线性方程组的求解上。 第二节：全排列及其逆序数第二节：全排列及其逆序数 1、全排列全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列） 。 n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用 Pn (或 An)表示。 逆序及逆序数逆序

5、及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大 线代知识整理 LB 制作 3 于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性：排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。 2、计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法： 方法方法一：一：分别计算出排在1,2,1,nn 前面比它大的数码之和即分别算出 1,2,1,nn这 n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。 方法二：方法二： 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和， 即算出排列中每个元 素的逆序数，这每个元

6、素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。 第三节：第三节：n 阶行列式的定义阶行列式的定义 1、 定义：定义：n 阶行列式 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa 等于所有取自不同行、不同列的 n 个元素的 乘积 12 12 n ppnp aaa的代数和，其中 p1， p2 pn是 1, 2, ,n 的一个排列，每一项的符号由 其逆序数决定。 2、 11121 12 222 11221122 0 1 00 n tn n nnnn nn aaa aa Da aaa aa a 也可简记为 det ij a， 其中 ij a为行列式 D 的（i，j 元） 。 3、

7、根据定义，有 12 12 12 11121 21222 12 12 1 n n n n t p pp n ppnp p pp nnnn aaa aaa Daaa aaa 4、 说明：说明： 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一 次方程组的需要而定义的; 2、n 阶行列式是!n项的代数和; 3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积; 4、 12 12 n ppnp a aa的符号为1 t ，t 的符号等于排列 12 ,. n p pp的逆序数 5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。 线代知识整理 LB 制作 4 5、推论推论 1：上，下三

8、角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。 即 11121 12 222 11221122 0 1 00 n tn n nnnn nn aaa aa Da aaa aa a 6、推论推论 2：主对角行列式的值等于其对角线上各元素的乘积，副对角行列式的值等于 1 2 1 n n 乘以其副对角线上各元素的乘积。 即 1 2 12n n ， 1 1 2 2 12 1 n n n n 第四节：对换第四节：对换 定义：定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对 换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。 定理定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 推论

9、推论： 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 定理定理 2 n 阶行列式det() ij Da的项可以写为 1 212 1 122 ()() ( 1) nn nn t q qqt p pp q pq pq p aaa ， 其中 q1q2qn是行标排列，p1p2 pn是列标排列 。 推论推论：设有 n 阶行列式det() ij Da，则有 1 2 12 () 12 ( 1) n n t q qq qqq n Da aa 或 1 212 1 122 ()() ( 1) nn nn t q qqt p pp q pq pq p Daaa 或 1 2 12 ()

10、12 ( 1) n n t q qq ppnp Da aa （行列式三种不同表示方法） 推论推论：在全部n阶排列中2n ，奇偶排列各占一半。 线代知识整理 LB 制作 5 第五节：行列式的性质第五节：行列式的性质 定义定义：记 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa ， 11211 12222 12 n nT nnnn aaa aaa D aaa ，行列式 T D称为行列式D 的转置行列式。 性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等。 性质性质 2 互换行列式的两行 ij rr或列 ij cc，行列式变号。 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列

11、式为零。 性质性质 3 行列式的某一行 /列中所有的元素都乘以同一数() j k rk， 等于用数k乘此行列式； 推论推论 1 D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面; 推论推论 2 D中某一行（列）所有元素为零，则=0D。 性质性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零 性质性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111 2122222 12 () () () iin iin nnnininn aaaaa aaaaa D aaaaa 111211111211 212222212222 1212 inin inin nnninnnnninn

12、 aaaaaaaa aaaaaaaa aaaaaaaa 性质性质 6 把行列式的某一列 （行） 的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去， 行列式的值不变。 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：利用定义；利用运算 ij rkr把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值。 说明说明：行列式中行与列行列式中行与列地位等同地位等同，行列式的，行列式的 6 个性质凡是对行成立的对列也同样成立。个性质凡是对行成立的对列也同样成立。 线代知识整理 LB 制作 6 第六节第六节 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 1、 余子式余子式 在n阶行列式中，把元素 ij a所在的第i行和

13、第j列划去后，留下来的1n阶 行列式叫做元素 ij a的余子式，记作 ij M。 代数余子式代数余子式 1 ij ijij AM 记，叫做元素 ij a的代数余子式。 2、引理引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）( , )i j元外 ij a都为零，那么这 行列式等于 ij a与它的代数余子式的乘积，即 ijij Da A。 3、定理定理 n阶行列式 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式的乘积之和，即 1122iiiiinin Da Aa Aa A，(1,2, )in 1122jjj

14、jnjnj Da Aa Aa A或，(1,2, )jn。 4、扩展扩展 范德蒙德(Vandermonde)行列式 12 222 12 1 111 12 111 () n nnij n ij nnn n xxx Dxxxxx xxx 5、展开定理推论展开定理推论 n阶行列式 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa 的任意一行（列）的各元素与 另一行 （列） 对应的代数余子式的乘积之和为零， 即 1122 0() isisinsn a Aa Aa Ais 1122 0 () jtjtnjnt a Aa Aa Ajt或 线代知识整理 LB 制作 7 第七节第七节

15、克拉默法则克拉默法则 1、如果线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 的系数行列式不等于零，即 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa ，则该方程组有唯一解 312 123 , n n DDDD xxxx DDDD 其中 Di是用非齐次项代替 D 中第 i 列元素 后所得的行列式。 注意注意 克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2、 定理定理 1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D0，则(1)一定有解，且解是唯一的。 逆否定理逆否定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 3、 定理定理 2 若齐次线性方程组 11 11221 21 12222 1 122 .0 .0 . .0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x 的系