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1、第二章：Griffith理论,热力学（回顾） Griffith理论 能量释放率G G的实验测量柔度标定 Griffith理论在非理想脆性材料中的修正 一些讨论,热 力 学,热力学第一定律：,系统又有往能量极小演化的趋势,似乎有矛盾，怎么回事？,热力学第零定律：,若两个热力学系统均与第三个系统处于热平衡状态，此两个系统也必互相处于热平衡。,对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。,热平衡的标志为系统的各个部分温度相等,U是状态量，Q、Wmech、Wextra是过程量（路径依赖）,热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况下的发展方向 热能区别于其他能量形式 很多能量都最终耗散转化为热能 事实
2、上系统演化是一个熵增的过程,热力学第二定律：,不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响。,Clausius,不可能从单一热源吸收能量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。,Kelvin-Planck,引入S熵,封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。,对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。,能量最小原理：,达到平衡状态,能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。,内能,焓,Helmholtz 自由能,Gibbs 自由能,Legendre变换,Adrien-Marie Legendre,Louis Legen
3、dre,200 year portrait debacle,在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。,Legendre变换,Griffith理论,Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned hi
4、s B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become se
5、nior scientific officer in,1920. In 1917, together with G.I. Taylor, he published a pioneering paper on the use of soap films in solving torsion problems, and in 1920 he published his famous paper on the theory of brittle fracture. He then worked on the design theory of gas turbines. Griffith was He
6、ad of the Engine Department of the Royal Aircraft Establishment in 1938 and joined Rolls Royce as research engineer in 1939. He worked first on conceptual design of turbojet engines and later on vertical takeoff aircraft design. He retired in 1960 but continued working as a consultant for Rolls Royc
7、e. He died on 13 October 1963.,Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Vol. 10, (Nov., 1964), pp. 117-136 http:/www.jstor.org/stable/769315,Griffith理论,椭圆孔的应力分布（弹性力学解）,Charles Inglis, 1913,C.E. Inglis, Stress in a plate due to the presence of cracks and sharp corners, 1913.,尖锐的裂纹,Griffi
8、th理论,A.A. Griffith, Phenomena of rupture and flow in solids, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A221, 163-198 (1921).,Energy balance concept,Difference in elastic energy between the cracked sheet and the uncracked sheet,Cracked sheet has the free surface,Plane strain,Total en
9、ergy,g Surface energy,Homework（作业题）,Equilibrium condition,?,Crack growth will be unstable!,随后深入讨论稳定性！,作 业 题,1.阅读Griffith的论文。根据如下两个公式回答Inglis的解与Griffith理论之间的关系，并说明哪个解更复合实际情况，为什么？同时给出在什么情况下两者是基本一致的？,Inglis的解,Griffith的解,作 业 题,2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判断裂纹扩展是否稳定，同时
10、用图示说明？（注：考虑单位厚度的能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑成梁，计算其弯曲能即可）,封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。,对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。,能量最小原理：,达到平衡状态,能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。,内能,焓,Helmholtz 自由能,Gibbs 自由能,熵不变,Legendre变换,状态函数,Legendre变换,Adrien-Marie Legendre,Louis Legendre,200 year portrait debacle,在热力学
11、里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。,Legendre变换,断裂过程中的能量平衡及转化,考察一个断裂过程中的能量平衡,外界对系统做的功,系统的弹性应变能增加,系统新增表面能,断裂过程中系统产生的热,系统内部热能增加,传出系统的热量,热力学第二定律要求,由(*)式得,B:试件厚度,(*),断裂的驱动力,断裂阻力,断裂是一
12、个材料生成新表面的过程!,阻力：表面能,驱动力,单位面积表面能，或表面张力,G 裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为能量释放率。,Irwin G.R. Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminum alloys. Sagamore Research Conference Proceedings, Vol. 2, 1956, pp. 289-305.,George Rankine Irwin,下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功的交换，即,上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关
13、系以及判断准则。,一个典型例子：Griffith脆断理论,问题：多长的裂纹会自动扩展？,表面能,外界对系统做功,位移固定边界,单位面积表面能,如何计算弹性应变能的改变dUe？,计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理,为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?,宏微观断裂力学,其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？,若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理?,如何检查叠加是否正确？ 线性系统（线弹性、小变形、小转动） 检查以下等式是否都满足,假设(b)为应变能零状态,要求解(a)状态能量,先转换成求(c)状态能量，及裂纹张开所需的应变能。,对于一般的问题能用叠加来
14、计算能量吗？,若不能,为什么这里可以？,计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理,对于无限大板（La），参见随后的作业题3,计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理,通过计算做功来计算能量差异,状态（a）和（b）之间的差异（让裂纹闭合所做的功）,状态（b）和（c）之间的差异,计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理,上面是位移边界,作业题4. 如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹板的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无限大板的情况。,最一般形式,对于位移固定加载的系统,临界裂纹长度,临界应力,裂纹扩展的临界状态对应于,考虑Griffith裂纹（如右
15、图）的情况,结合作业题，简单讨论尺度效应,最一般形式,对于位移固定加载的系统,裂纹扩展的临界状态对应于,对于位移固定加载的系统，可以用,总能量表面能弹性应变能,作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。,裂纹扩展需满足,位移固定边界下裂纹扩展的临界状态,裂纹扩展的驱动力裂纹扩展的阻力 随裂纹扩展释放的应变能生成新表面需要能量,A代表面积，G量纲为J/m2(N/m)，代表广义能量力,A是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半,固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化方向？如何确定G？,能量释放率：,注意到,位移固定,载荷固定（力固定）,D,临界状态,位移固定,载荷固定（力固定）
16、,图示能量改变,基于Legendre变换的理解,将Ue转换为另外一个函数以P为自变量,将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。,能量释放率,材料对裂纹临界扩展的抗力,理想脆断,Gc随a的变化称为材料的断裂阻力曲线,Griffith起裂准则,不起裂,临界状态,对于平衡态静止裂纹,裂纹扩展的稳定性条件,稳定裂纹,随遇裂纹,失稳扩展,更准确的应该是？,断裂阻力曲线,Gc=Const,Gc=R(a),外加载荷s1 s2 s3,当裂纹足够小时，裂纹扩展总是不稳定。对长裂纹而言，裂纹扩展初期是稳定的，但随着载荷的增大，将变得不稳定。,长/短裂纹的扩展稳定性？,示 例,Gc,一般情形,考虑更一般的情况，包含试验机和试件两个系统。下面的例子试件子系统与外界会有功的交换，但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先仍研究没有功交换的情形。,与裂纹有关的试件柔度,试验机柔度,整个加载系统的总弹性能为,能量释放率
