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1、1 圆与抛物线共存的综合题 128 （2010 青海，28, 11 分） 如图 10，已知点 A（3，0） ，以 A 为圆心作A 与 Y 轴切于原点，与 x 轴 的另一个交点为 B，过 B 作A 的切线 l. （1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C（0，9） ，求此抛物线的解析式； （2）抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，过 D 作A 的切线 DE，E 为切点，求此切线长； （3）点 F 是切线 DE 上的一个动点，当BFD 与 EAD相似时，求出 BF 的长 【分析】 （1）设顶点式，把 A、C 代入求出（2）见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形（3）由相似 得到对应线段
2、成比例，从而求出 BF 的长 【答案】 解：（1）设抛物线的解析式为 2 (6)ya xk 抛物线经过点 A（3，0）和 C（0，9） 90 369 ak ak 解得： 1 ,3 3 ak 2 1 (6)3 3 yx （2）连接 AE DE 是A 的切线，AED=90，AE=3 直线 l 是抛物线的对称轴，点 A，D 是抛物线与 x 轴的交点 AB=BD=3 AD=6 在 RtADE 中， 22222 6327DEADAE 3 3DE （3）当 BFED 时 AED=BFD=90 ADE=BDF 图 10 2 AEDBFD AEAD BFBD 即 36 3BF 3 2 BF 当 FBAD 时
3、AED=FBD=90 ADE=FDB AEDFBD AEED BFBD 即 3 3 3 3 3 BF BF 的长为或. 3 2 3 【涉及知识点】抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理 2 （12 分）一条抛物线经过点与 2 yxmxn0 3，4 3， （1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标； （2）现有一半径为 1、圆心在抛物线上运动的动圆，当与坐标轴相切时，求圆心的坐标；PPP （3）能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线使与两坐标轴P 2 yxmxnP 都相切（要说明平移方法） 2 本小题满分 12 分 （1） 抛物线过两点， 04，3，3 1 分 2 3 443
4、 n mn ， ， 解得 2 分 4 3 m n ， ， Ox y 图 15 3 抛物线的解析式是，顶点坐标为 3 分 2 43yxx21， （2）设点的坐标为，P 00 ()xy， 当与轴相切时，有， 5 分Py 0 | 1x 0 1x 由，得； 0 1x 2 0 1430y 由，得 0 1x 2 0 ( 1)4( 1)38y 此时，点的坐标为 6 分P 12 1018PP ， 当与轴相切时，有， 7 分Px 0 | 1y 0 1y 由，得，解得； 0 1y 2 00 431xx 0 22x 由，得，解得 0 1y 2 00 431xx 0 2x 此时，点的坐标为， 9 分P 34 (221
5、)(221)PP， 5(2 1)P，- 综上所述，圆心的坐标为：，P 12 1018PP ， 34 (221)(221)PP， 5(2 1)P，- 注：不写最后一步不扣分 （3） 由（2）知，不能 10 分 设抛物线上下平移后的解析式为, 2 43yxx 2 (2)1yxh 若能与两坐标轴都相切，则,P 0 |x 0 | 1y 即 x0=y0=1；或 x0=y0=-1；或 x0=1，y0=-1；或 x0=-1，y0=1 11 分 取 x0=y0=1，代入，得 h=1 2 (2)1yxh 只需将向上平移 1 个单位，就可使与两坐标轴都相切 2 43yxxP 12 3.如图，在平面直角坐标系中，顶
6、点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点41yAxBC 在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.BCA03 （1）求此抛物线的解析式； （2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛BABDCBD 物线的对称轴 与有怎样的位置关系，并给出证明；lC （3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，PACP 的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.PACPPAC A x y B OC D (第 23 题) 4 3 （1）解：设抛物线为. 2 (4)1ya x 抛物线经过点（0，3） ，.A 2 3(04)1a 1 4 a 抛物线为.
7、 3 分 22 11 (4)123 44 yxxx (2) 答： 与相交. 4 分lC 证明：当时，. 2 1 (4)10 4 x 1 2x 2 6x 为（2，0） ，为（6，0）.BC 22 3213AB 设与相切于点，连接，则.CBDECE90BECAOB ，.90ABD90CBEABO 又，.90BAOABOBAOCBE AOBBEC .6 分 CEBC OBAB 62 213 CE 8 2 13 CE 抛物线的对称轴 为，点到 的距离为 2.l4x Cl 抛物线的对称轴 与相交. 7 分lC (3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.PyACQ 可求出的解析式为.8 分AC 1 3
8、 2 yx 设点的坐标为（，） ，则点的坐标为（，）.Pm 2 1 23 4 mmQm 1 3 2 m . 22 1113 3(23) 2442 PQmmmmm , 22 113327 () 6(3) 24244 PACPAQPCQ SSSmmm 当时，的面积最大为.3m PAC 27 4 此时，点的坐标为（3，）. 10 分P 3 4 4.（本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点cbxaxy 2 x)0 , 6(),0 , 2(BAy .)32 , 0(C （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线交于点 D，作D 与 x 轴相切，D
9、交轴于点 E、F 两点，求劣xy2y 弧 EF 的长； （3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得x （第 24 题 图） x y OA C B D E F 5 PGA 的面积被直线 AC 分为 12 两部分. 4. （本小题满分 12 分） 解：（1）抛物线经过点，cbxaxy 2 )0 , 2(A)0 , 6(B)320( ，C ， 解得. 32 0636 024 c cba cba 32 3 3 4 6 3 c b a 抛物线的解析式为：. 3 分323 3 4 6 3 2 xxy （2）易知抛物线的对称轴是.把 x=4 代入 y
10、=2x 得 y=8，点 D 的坐标为（4,8） 4x D 与 x 轴相切，D 的半径为 8 4 分 连结 DE、DF，作 DMy 轴，垂足为点 M 在 RtMFD 中，FD=8，MD=4cosMDF= 2 1 MDF=60，EDF=120 6 分 劣弧 EF 的长为： 7 分 3 16 8 180 120 （3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b. 直线 AC 经过点.)32 , 0(),0 , 2(CA ，解得.直线 AC 的解析式为：. 8 分 32 02 b bk 32 3 b k 323 xy 设点，PG 交直线 AC 于 N，)0)(323 3 4 6 3 ,( 2 mmmmP
11、则点 N 坐标为.)323,(mmGNPNSS GNAPNA : 若 PNGN=12，则 PGGN=32，PG=GN. 2 3 x y O A C B D E F P G N M 6 A C B P O x y 5 3 6 即=.323 3 4 6 3 2 mm）（323 2 3 m 解得：m1=3， m2=2（舍去）. 当 m=3 时，=.323 3 4 6 3 2 mm3 2 15 此时点 P 的坐标为. 10 分)3 2 15 , 3( 若 PNGN=21，则 PGGN=31， PG=3GN. 即=.323 3 4 6 3 2 mm）（3233m 解得：，（舍去）.当时，=.12 1 m2 2 m12 1 m323 3 4 6 3 2 mm342 此时点 P 的坐标为.)342,12( 综上所述，当点 P 坐标为或时，PGA 的面积被直线 AC 分成 12 两部分 )3 2 15 , 3()342,12( 12 分 5(12 分)如图，已知点 A(3，0)和 B(1，0)，直线 ykx4 经过点 A 并且与 y 轴交于点 C (1)求点 C 的坐标； (2)求经过 A、B、C 三点
