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1、第四章第四章 控制系统的控制系统的频率特性频率特性 第三章中讲述：建立数学模型分析：稳、快、准 直接方法 时域分析法：直观，分析高阶系统非常繁琐 间接方法频率法 特点 从 k GS 分析 闭环控制的各种特性 频率法的优点 (1)工程实践中，不希望大量繁多计算，要求简单迅速的分析出动态 性能及如何调整。(而开环频率特性容易绘制或通过实验获得) 此外：电路 机械振动 与频率特性有密切的关系 机械受到一定w的作用力时产生强迫振动，由于内反馈还会引起自激 振动。振动学中的共振频率，频谱密度，动刚度，扶振稳定性等概念都 可归纳为机械系统在频率域中表现的特性。 (2)可由试验确定 本章内容 (一)阐明频率
2、响应与频率特性的基本概念及表示方法基础 频率特性与传函的关系 动刚度与动柔度的概念 频率特性与传函的关系 (二)介绍频率特性的图形分析法 动刚度与动柔度的概念 Nyqwist 图与 Bode 图的一般概念，典型环节 绘制 Nyqwist 图与 Bode 图的一般步骤和方法 (三)有频率特性曲线 传函 (根据频率特性的 Bode 图辨识系统的数学模型的一般方法) (四)其他有关问题：频率特性的特征量，最小相位系统等。 4.1 4.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 一.频率响应 系统对正弦信号(或谐波信号)的稳态响应。 响应 瞬态不是正弦波 稳态是和输入的正弦信号w相同的正弦波，但振幅和相
3、位都 与输入量不同。 输入 ： sin j t iii x tXtX e 输入的稳态响应： 00 0 sin jt xtXt Xe 频率响应 例 4.1：机械系统如图 4.1 所示.当输入正弦力 sinf tFt时，求其 x t位移的稳态输出。 C T k 时间常数 图 4.1 机械系统 231 2222 1 11 C SCCF k X S TSSTSS 2 1 22 / 1 T F k C T f tkx tcx t k c 11 1 1 1 X S kk G S c F SCSkTS S k sinf tFt x t 2323 22 1 1 11 Sj F Fj t k jCCC SC j
4、 tkT 32 2222 1 , 11 FFT CC kTkT 22 2222 2222 / 1 1/11 TF k F TSF T X S STSSkTkT 瞬态分量 222222 / sincos 111 t T TF kF kF T k x tett TTT .0t 22 22 / sinarctan 1 1 t T TF kF k etT T T 稳态分量 所以其稳态输出 频率响应： 22 1/ sinarctan 1 k x tFtT T sinAFt 0 sinxt 式中： 0 x其输出谐波的幅值正比于输入谐波的幅值 F，且是输入谐 波频率的非线性函数。 其输出谐波的相位与输入谐波
5、的幅值 F 无关， 与输入谐波频率的 相位差，是的非线性函数。 1 L t 0 (w) xi x0 图 4.2 时间相应曲线 sin ii x tXt 00 sinxtXt 可见：频率响应是时间响应的一种特例， 0 X ，是的函数， 且与系统参数 k，c 有关。 为了研究系统随变化的情况，引入频率特性的概念。 二.频率特性：类试于传函的另一种系统模型表示方式. 定义：系统输出量的傅里叶变换/输入量的傅里叶变换 0 i xj G jSj xj 频率 幅频特性： 0 i x A x ，稳态情况下，输入不同信号，其幅 值会衰减或增大。 特性 相频特性：相位差 0i ，稳态情况下，输入不同 信号，其相
6、位产生超前或滞后特性。 (A 或 j Ae 规定相位差： + +，- - 频率特性是定义在频域上的复变函数，反映了线性系统在不同频率下 的特性： j em G jRjIAe 实部，实频特性 虚部，虚频特性 22 em ARI arctan m e I R 0 00 jtj i xtxt ex Ae 线性系统频率特性所具有的物理含义，在系统分析和控制中具有非常 重要的作用。 三.频率特性的求取方法： 求取线性系统的频率特性，就是求其幅频特性和相频特性，主要有如 下三种： 1.依据频率特性的定义求: 取数模是传函 000 / ii G SxSx SxSG Sx Sxt t 时， 0 xt稳态时系统
7、频率响应的幅值和相位。 1 L 再根据： 0 0 i i x A x 可得 例： 1 K G S TS ，输入 sin i x tFt 求得：t 时， 0 22 sinarctan 1 KF xttT T 由 0 0 i i x A x 可得： 0 22 1 arctan K A T T 系统的频率特性： arctan 22 1 jT K G je T 2.由传函中的 S 变换为jSj来求取。 上例： 22 1 11 KK G jj T j TT 22 , 1 e K R T 22 1 m K T I T 因此有： 22 22 1 em K AG jRI T arctanarctan m e
8、I LG jT R 结果一致 实际上，这种求取系统频率特性的方法，一般是先将传递函数按其零 点和极点化为基本环节的串联形式，然后依据各构成环节的幅值和相位 的关系，可方便求得频率特性。 例： 2 1 56 S G S SS 试求其幅频特性和相频特性 解： 1 23 S G S SS 零点：1Z ，极点： 12 2,3SS 取Sj，得系统的频率特性为： 1 23 j G j jj 2 22 1 1 49 q i i AAG j 1 arctanarctanarctan 23 q i i G j 3.用实验方法求取： 对于那些难以用传函或微分方程等数模描述的系统，就无法用上面两 种来求取频率特性。
9、但，基于线性系统对输入谐波信号的响应其输出仍 为同的谐波信号这一特性和频率特性的一些概念， 可通过试验的方法获 得系统的频率特性。 实验求取系统频率特性，就是改变输入谐波信号的频率，并测出与此 相应的输出信号的幅值和相位，然后求出对应频率下两种信号的复制比 和相位差，以此做出它们分别与频率的关系曲线，从而就获得系统频率 特性的表达式。 四.频率特性分析的特点： 微分方程 在控制系统中往往注 重的是反应系统性能的 d LS dt dF j dt 传递函数 几个重要特征量， 而非输出响应。所以希望直接 频率特性 由： 数学模型 系统性能的特征量， 如, sp tM。 频率特性 图解分析法，主要特点
10、： (1)对单入-单出系统，用频域分析法比用时域分析法更容易一些。 (2)对许多复杂的机械系统，往往需要获得动柔度或动刚度。 当用解析法无法求得系统的微分方程或传函时，就无法求得动态性 能，此时，可用实验方法建立频率特性。 在输入端加上 i F和相同，但w不同的力的谐波信号sin i FFt。 记录相应的位移(变形)的稳态输出，则相应于不同w可求出 0 / i xjxj与( )w。即得 j G jAe 动刚度(/)m N。 1 G j 动柔度 (3)系统的频率特性 单位脉冲响应的傅里叶变换 0i xSG S x S 0i xjG jxj 当 ,1 ii x ttxj 0 xjG jFt Sj
11、所以它也是一种频谱分析，对某些频带中具有的噪声干扰采用频谱分 析法，可控制噪声对分析结果的影响。 局限性表现在： (1)图形所确定的简单、实用的分析方法，是以工程的近似性为代价 的，但对多数工程应用还是适应的。 (2)只适用于线性定常系统，主要是单变量，对时变，线性规划不能 直接应用，对多变量应用也十分复杂。 4 4.2 .2 频率特性的图示方法之一频率特性的图示方法之一 极坐标图极坐标图 频率分析法的基础是画出线性系统频率特性的图形。 表现方式有多种： 实频特性与虚频特性 幅频特性与相频特性 相应的图形表示也有不同的方法，常用的 极坐标图 对数坐标图 极坐标图是反映频率响应的几何表示。当给定
12、频率为时， 其G j 在复平面上表示一个向量OA，向量OA的端点坐标就是G j的实部和虚 部。当:0时，G j是的复变函数，是一种变换。G j作为一 个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹 极坐标图。(Nyqwist 曲线) 0 jw w1 w2 w3 S 0 Im w1 w2 w3 G(jw) Re w G(jw1) 图 4.3 图 4.4 规定：从正实轴开始逆时针旋转为正。 一、典型环节的 Nyqwist 图 1.比例环节： G SK G jK 0 0 G jK G j Im k G(jw) Re (k,j0) 0 图 4.5 2.积分环节： 1 G S S 1 G j j 0 1 90 G j G j 1 j 0, ,0 G j G j 位于虚轴下半轴。由无穷远 原点。 具有恒定的相位滞后。 0 Im w G(jw) Re w -900 0 图 4.6 3.微分环节： G SS G jj 0
