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1、齐次坐标变换,主讲：吴海彬,福州大学机械工程及自动化学院,第二讲,主要内容,引言 点的向量表示 单位向量 点和向量的齐次表示 坐标系的位姿 刚体的位姿 平移变换 旋转变换 一般变换 相对参考坐标系的变换 相对自身坐标系的变换,引言 (Introduction),机器人运动学解决的基本问题： 正向运动学 逆向运动学,机器人机构,一个自由度情况 多个自由度情况 误差的反馈,点、向量和坐标系的传统表示,坐标轴的定义,或,或,非方阵相乘结果的维数发生变化,点、向量和坐标系的齐次表示,在三维向量中加入一比例因子w； 其物理意义是，随着W的改变，向量的大小会发生变化，而方向不变； W大于1，向量的分量变大
2、；W小于1，向量的分量变小； 若W1，各分量大小不变； 若W0，则表示一个无穷小的向量，其方向不变。,第二章 机器人运动学,其中,齐次坐标与传统坐标的关系,点、向量和坐标系的齐次表示,第二章 机器人运动学,因此，习惯上用W1表示向量的长度，用W0表示向量的方向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：,例：有一向量P（3，5，2），请按如下要求表示成矩阵形式： 1、比例因子为2； 2、表示为方向的单位向量。,点、向量和坐标系的齐次表示,原点重合情况,坐标系的齐次表示是由坐标系的三个方向向量和原点位置齐次坐标组成：,例：如图所示为F坐标系位于参考坐标系中（3，5，7）的位置，它的n轴与x
3、轴平行，o轴相对于y轴的角度为45度，a轴相对于z的角度为45度。请写出该坐标的齐次表达形式。,点、向量和坐标系的齐次表示,第二章 机器人运动学,刚体的表示,一个刚体在空间的表示可以这样实现：通过在它上面固连一个坐标系，再将该固连的坐标系在空间表示出来。由于这个坐标系一直固连在该刚体上，所以该刚体相对于坐标系的位姿是已知的。因此，只要这个坐标系可以在空间表示出来，那么这个刚体相对于固定坐标系的位姿也就已知了。由此可知，刚体在参考坐标系的表示与坐标系是完全一样的。,图,约束变量,点、向量和坐标系的齐次表示,第二章 机器人运动学,由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知，该矩阵有12个变量，
4、但描述刚体位姿只需要6个变量（自由度）就足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互独立的，而是有约束的，约束条件为： 1、三个方向向量相互垂直； 2、每个单位向量的长度均为1。即：,已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ”来定义向量点积，即 a b = ax bx + ay by + az bz 向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“”表示叉积，即 a b = ( ay bz az by ) i + ( az bx ax bz ) j + ( ax by ay bx ) k
5、可用行列式表示为 i j k a b = ax ay az bx by bz,例题,点、向量和坐标系的齐次表示,第二章 机器人运动学,对于下列坐标系，求解所缺元素的值，并用矩阵来表示这个坐标系。,注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：,进一步有,齐次变换矩阵,变换定义为空间的一个运动； 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示； 变换有如下几种形式： 纯平移， 纯旋转， 平移和旋转的结合。,第二章 机器人运动学,纯平移,齐次变换矩阵,第二章 机器人运动学,特点：运动过程中姿态不变，坐标方向单位向量保持同一方向不变。,
6、变换矩阵可表示为,变换过程为：,注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵左乘，公式为,例,纯旋转(相对坐标绕参考坐标X轴）,齐次变换矩阵,第二章 机器人运动学,例,必须从原点开始变换！,纯旋转,齐次变换矩阵,第二章 机器人运动学,也就相当于旋转变换前在固定参考坐标系的初始位置。,式中,图、例,注：相对固定坐标系的旋转，变换矩阵左乘，公式为,绕x轴旋转可简写成,其中,同理,纯旋转例题,齐次变换矩阵,第二章 机器人运动学,旋转坐标系中有一点P（2，3，4），此坐标系绕参考坐标系x轴旋转90度。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。,复合变换,齐次变换矩阵,第二章 机器人运动学,特点：既有平移，又有旋转，而
7、且可以多次。,假设坐标系（n，o，a）相对于参考坐标系（x，y，z）依次进行如下变换： 1、绕x轴旋转 角； 2、平移 ； 3、再绕y轴旋转 角。,注：矩阵的顺序不能变； 相对固定坐标系的平移和旋转，变换矩阵左乘。,例,复合变换例题,齐次变换矩阵,相对坐标系的齐次矩阵,固连在坐标系（n，o，a）上的点P（7，3，2）经历如下变换，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着绕y轴旋转90度； 3、接着再平移（4，-3，7）。,复合变换例题,齐次变换矩阵,第二章 机器人运动学,假设（n，o，a）坐标系上的点P（7，3，2）也经历相同变换，但变换顺序按如下进行，求出变换
8、后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着平移（4，-3，7）； 3、接着再绕y轴旋转90度。,相对动坐标系的变换,齐次变换矩阵,第二章 机器人运动学,相对运动坐标系的变换与相对固定参考坐标系不同，这时需要右乘变换矩阵而不是左乘。 相对自身的运动即是相对动坐标。 相对动坐标是指动坐标系本身相对自身的运动，而不是动坐标系中的点相对动坐标系的运动。 如果在一个变换过程中，既有相对固定坐标系的变换，也有相对于动坐标系的变换，则应先写出第一个变换因子，在根据变换的具体过程，依次左乘或右乘变换因子，最后乘以被变换的对象（点或坐标）。,相对动坐标系的变换例题,齐次变换矩阵,第二章 机
9、器人运动学,假设与上例相同的点现在进行相同的变换，但所有变换都是相对当前运动坐标系的，具体变换如下，求变换完成后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕a轴旋转90度； 2、然后沿n、o、a轴平移（4，-3，7）； 3、接着绕o轴旋转90度。,相对动坐标系的变换例题,齐次变换矩阵,第二章 机器人运动学,坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终位置。,提示：先求 ，再求,变换矩阵的逆,第二章 机器人运动学,钻孔点位置的描述：,式中：
10、只有 是未知的，其它都可以通过传感器获得，或本身就是已知的。因此，通过求逆阵就可以求得 。,求矩阵逆例题,变换矩阵的逆,第二章 机器人运动学,在一个具有六自由度的机器人的第五个连杆上装有照相机，照相机观察物体并测定它相对于照相机坐标系的位置，然后根据以下数据来确定末端执行器要到达物体所必须完成的运动。,提示：根据,求 ，这可以用于测距,变换矩阵的逆,求逆阵的步骤：,第二章 机器人运动学,1、计算矩阵的行列式； 2、将矩阵转置； 3、将转置矩阵的每个元素用它的子行列式（伴随矩阵）代替； 4、用转换后的矩阵除以行列式,即,例：求,的逆阵。,齐次矩阵的逆,变换矩阵的逆,第二章 机器人运动学,对于4X
11、4齐次变换矩阵，可以将矩阵分成两部分求逆。其旋转部分仍是酉矩阵，只需要简单的转置；矩阵的位置部分是向量P分别与n、o、a向量点积的取反。,即,的逆阵为,例：求,的逆阵。,图2.12所示为点A绕任意过原点的单位矢量此旋转角的情况。kx，ky，kz分别为此矢量在固定参考系坐标轴X、Y、Z上的三个分量， 可以证得，绕任意过原点的单位矢量k转角的旋转齐次变换公式为,式(2-18)称为一般旋转齐次变换通式，它概括了绕X轴、Y轴、Z轴进行旋转齐次变换的各种特殊情况，例如： 当kx=1，即ky=kz=0时，则由式(2-18)可得到式(2-16)； 当ky=1，即kx=kz=0时，则由式(2-18)可得到式(
12、2-17)； 当kz=1，即kx=ky=0时，则由式(2-18)可得到式(2-15)。,反之，若给出某个旋转齐次矩阵,则可根据式 (2-18)求出其等效矢量k及等效转角,式中：当取0到180。之间的值时，式中的符号取+号；当转角时很小时，公式很难确定转轴；当接近0。或180。时，转轴完全不确定。,与平移变换一样，旋转变换算子公式(2-15)、 (2-16)、(2-17)以及一般旋转变换算子公式(2-18)，不仅仅适用于点的旋转变换,而且也适用于矢量、坐标系、物体等旋转变换计算。若相对固定坐标系进行变换,则算子左乘；若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。 例2-5 已知坐标系中点U的位置矢量u=7 3 2 1T 将此点绕Z轴旋转90，再绕Y轴旋转90，如图2-13所示，求旋转变换后所得的点W。,2-6 如图2-14所示单臂操作手，手腕也具有一个自由度。已知手部起始位姿矩阵为,若手臂绕Z0轴旋转+90，则手部到达G2若手臂不动，仅手部绕手腕Zl轴旋转+90,则手部到达G3。写出手部坐标系G2及G3的矩阵表达式。,
